Respostas
Vamos lá.
Veja, Giovanna, que a resolução parece simples. Vamos tentar fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.
i) Pede-se para encontrar o valor de "x", que é o último termo da seguinte PA, cuja soma dá "260", ou seja:
2 + 5 + 8 + ..... + x = 260.
ii) Primeiro vamos aplicar a fórmula do termo geral de uma PA para encontrarmos o valor do último termo. A fórmula é esta:
a ̪ = a₁ + (n-1)*r
Na fórmula acima, "a ̪ " é o último termo, que vamos substituir por "x". Por sua vez, "a₁" é o primeiro termo que substituiremos por "2"; e finalmente "r" é a razão, que substituiremos por "3", pois, como você já deve ter notado, a razão da PA é igual a "3", pois há uma diferença de 3 unidades entre cada termo da PA. Assim, fazendo as devidas substituições, teremos:
x = 2 + (n-1)*3 ----- efetuando o produto indicado, teremos:
x = 2 + 3n-3 ----- ordenando, teremos:
x = 3n + 2-3
x = 3n - 1 . (I)
O valor acima deverá ser o valor de "x" (que é o último termo da PA da sua questão.
iii) Agora vamos aplicar a fórmula da soma dos "n" primeiros termos de uma PA, que é dada assim:
S ̪ = (a₁+a ̪ )*n/2
Na fórmula acima, substituiremos "S ̪ " por "260", pois a soma já está dada no enunciado da questão. Por sua vez, substituiremos "a₁" por "2", que é o valor do 1º termo. Por seu turno, substituiremos "a ̪ " por "3n-1", que é o valor de "x", que é o último termo. Assim, fazendo isso, teremos:
260 = (2+3n-1)*n/2 ------ desenvolvendo, teremos:
260 = (3n+1)*n/2 ---- multiplicando-se em cruz, teremos:
2*260 = (3n+1)*n ----- efetuando os produtos indicados nos 2 membros, ficaremos com:
520 = 3n² + n ------ passando "520" para o 2º membro, teremos:
0 = 3n² + n - 520 ---- ou, invertendo-se, o que dá no mesmo, teremos:
3n² + n - 520 = 0 ------ se você aplicar Bháskara vai encontrar as seguintes raízes:
n' = - 40/3 <--- raiz inválida, pois o número de termos não é negativo.
n'' = 13 <--- raiz válida. Logo, a PA da sua questão tem 13 termos.
iv) Agora, para encontrar o valor de "x" vamos na expressão (I), que é esta:
x = 3n - 1 ----- substituindo-se "n" por "13", teremos:
x = 3*13 - 1
x = 39 - 1
x = 38 <---- Esta é a resposta. Ou seja, este deverá ser o valor de "x" na equação da sua questão, para que a soma dos termos da PA dê igual a "260".
Bem a resposta já está dada. Mas apenas por mera curiosidade, vamos ver se a soma dos termos de uma PA de 13 termos, cujo primeiro termo é igual a "2" e cujo último termo é igual a "38" vai realmente ter a soma desses termos igual a 260. Vamos ver [aplica-se a fórmula da soma, que é esta: S ̪ = (a₁+a ̪ )*n/2]:
S₁₃ = (2+38)*13/2 ----- desenvolvendo, temos:
S₁₃ = (40)*13/2 ----- ou apenas:
S₁₃ = 40*13/2 ----- como "40*13 = 520", teremos:
S₁₃ = 520/2 ----- note que esta divisão dá exatamente "260". Logo:
S₁₃ = 260 <---- Olha aí como é verdade.
É isso aí.
Deu pra entender bem?
OK?
Adjemir.