Question

Calcule a equação da reta tangente ao gráfico da função f parêntese esquerdo x parêntese direito igual a parêntese esquerdo 4 x ao cubo mais 16 x mais 4 parêntese direito à potência de 3 sobre 2 fim do exponencial no ponto de abscissa x com 0 subscrito igual a 0.

Answer 1

A equação da reta tangente a uma curva em um determinado ponto é dada por:

y - y₀ = f'(x₀)(x - x₀).

Temos que a função f é definida por: $f(x)=(4x^3+16x+4)^{\frac{3}{2}}$, ou seja, $f(x)=\sqrt{(4x^3+16x+4)^3}$.

Como x₀ = 0, então y₀ será igual a:

$f(0)=\sqrt{(4.0^3+16.0+4)^3}$

f(0) = √4³

f(0) = √64

f(0) = 8.

Agora, precisamos derivar a função f. Observe que precisaremos utilizar a Regra da Cadeia. Daí,

$f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{(4x^3+16x+4)^3}}.((4x^3+16x+3)^3)'$

$f'(x)=\frac{3(12x^2+16)(4x^3+16x+4)^2}{2\sqrt{(4x^3+16x+4)^3}}$

Logo,

$f'(0) = \frac{3.16.4^2}{2.\sqrt{4^3}}$

$f'(0)=\frac{768}{16}$

f'(0) = 48.

Portanto, a equação da reta tangente é igual a:

y - 8 = 48(x - 0)

y - 8 = 48x

y = 48x + 8.