Question

na fugura abaixo, está representando o gráfico da função f(x) = log 2 (1/ax+b). qual é o valor de f(1)?

Answer 1

O grafico nos dá 2 pontos da curva, o ponto (x,y)=(0,0) e o ponto (x,y)=(5 , -4).

Isso nos diz que f(0) = 0 e f(5) = -4.

Se substituirmos estas informações na f(x) acharemos "a" e "b".

Substitundo o ponto (0,0) na f(x):

$f(0) = log_2\left(\frac{1}{a*0+b} \right)=0\\\\log_2\left(\frac{1}{b} \right)=0\\\\Aplicando \;a \;propriedade:\; log_b \left(\frac{a}{c}\right)=log_b a - log_b c\\\\log_2 1 - log_2 b = 0\\\\0 - log_2 b = 0\\\\log_2 b = 0\\\\b = 2^0\\\\b = 1$

Agora com "b" podemos substituir o ponto (5 , -4) na f(x):

$f(5) = log_2\left(\frac{1}{a*5+1} \right)=-4\\\\log_2\left(\frac{1}{5a+1} \right)=-4\\\\Aplicando \;a \;propriedade:\; log_b \left(\frac{a}{c}\right)=log_b a - log_b c\\\\log_2 1 - log_2 (5a+1)  = -4\\\\0 - log_2 (5a+1) = -4\\\\log_2  (5a+1)= 4\\\\5a+1 = 2^{4}\\\\5a = 16 - 1\\\\a = 15/5\\\\a=3$

Com os valores de "a" e "b" podemos calcular o valor de f(1) pedido no enunciado:

$f(1)=log_2 \frac{1}{3*1+1}\\ \\f(1)=log_2 \frac{1}{4}\\ \\f(1)=log_2 1 - log_2 4\\\\f(1) = 0 - log_2 4\\\\log_2 4 = -f(1)\\\\4 = 2^{-f(1)}\\\\2^2=2^{-f(1)}\\\\-f(1) = 2\\\\f(1) = -2$