Question

Sabendo que sec(x) = 3, calcule o valor da expressão y = sen2 (x) + 2 · tg2 (x)

Answer 1

sec(x) = 3

1/cos(x) = 3

cos(x) = 1/3


________

sen²(x) + cos²(x) = 1

sen²(x) + (1/3)² = 1

sen²(x) = 1 - 1/9

sen(x) = √8/9

sen(x) = 2√2/3

________

tg(x) = sen(x)/cos(x)

tg(x) = 2√2/3 ÷ 1/3

tg(x) = 2√2/3 x 3

tg(x) = 2√2

_________

y = sen²(x) + 2tg²(x)

y = 8/9 + 2 x (2√2)²

y = 8/9 + 2 x 4 x 2

y = 8/9 + 16

y = 152/9

Answer 2

Resposta: y=

Explicação passo a passo: Olá, boa noite. Pronto para mais uma explicação? Para a compreensão desse exercício precisaremos saber alguns teoremas da trigonometria e sua relação fundamental. Deixarei anexado abaixo, depois partiremos para a resolução da questão.

• Teorema da secante  $secante = \frac{1}{cosseno}$

• Teorema da tangente $tangente = \frac{seno(x)}{cosseno (x)}$  

• Relação fundamental da trigonometria $seno^{2} (x) + cosseno^{2} (x) = 1$  

1. O primeiro passo em uma questão de exatas é sempre anotar os dados que temos, pois somente assim, poderemos organizar nossas ideias e procurar uma solução viável para nosso exercício.

        Dado: sec(x) = 3

    2. Observando os teoremas da trigonometria e sua relação fundamental perceberemos que com a secante podemos encontrar o cosseno de um angulo, pois como anotado acima a secante é 1 / cosseno (x). Então, teremos:

                   $secante = \frac{1}{cosseno (x)} \\3 = \frac{1}{cosseno (x)} \\\\cosseno (x) = \frac{1}{3}$

   3. Depois de descobrirmos o cosseno,  percebemos que por meio dele podemos achar o seno, que é um dos termos da equação, claro se jogarmos ambos (cosseno e seno) na relação fundamental da trigonometria. Então, fazendo isso encontramos:

$seno^{2} (x) + cosseno^{2} (x) = 1$  

$seno^{2}(x) + (\frac{1}{3} )^{2} = 1$

$seno^{2}(x) = - (\frac{1}{3} )^{2} + 1$

$seno^{2}(x) = - (\frac{1}{9} )+ 1$

$seno= \sqrt[2]{\frac{8}{9} }$

$seno = \frac{\sqrt{8} }{3}$ => Aqui note que se fatorando o 8, ele será igual a $2\sqrt{2}$, então podemos fazer essa substituíção e afirmar que: $seno = \frac{\sqrt{8} }{3}$  = $\frac{2\sqrt{2} } {3}$

    4. Agora, que vamos achar o último fator necessário para resolvermos nossa incógnita, que é a tangente. Para descobrirmos a tangente, podemos usar seu teorema que nos diz que $tangente = \frac{seno(x)}{cosseno (x)}$  

Então, fazendo isso encontramos:

$tangente = \frac{\frac{2\sqrt{2} }{3} }{\frac{1}{3} }$ = no caso aqui pode ter ficado ruim e resolução da imagem, mas eu só atribuí ao seno e cosseno os valores que encontramos.

$tangente = \frac{2\sqrt{2} }{3} * \frac{3}{1}$ , pois lembre-se  que anteriormente estavamos dividindo e sempre que temos uma equação como a de cima nós anotamos seu fator que aparece primeiro e mutiplicamos pelo inverso da segunda, aqui no nosso caso o inverso da nossa segunda ficaria 3 / 1.

$tangente = 2\sqrt{2}$

  5. Agora, que chegamos até aqui vamos apenas substituir na equação que a questão nos forneceu

$y = seno^{2} (x) + 2 * tg^{2} (x)$

$y = (\frac{2\sqrt{2} }{3})^{2} + 2 * (2\sqrt{2})^{2}$

$y = \frac{8}{9} + 2 * 8$

$y = \frac{152}{9}$

Espero que você possa ter conseguido compreender bem a questão e se chegou até aqui muito obg. Tenha bons estudos e uma ótima semana!