Question

Achar o valor de x : (4^x) + 2 .(14 ^x) = 3 . 49 ^x

Answer 1

$4^{x}+2\cdot 14^{x}=3\cdot 49^{x}\\ \\ \left(2^{2} \right )^{x}+2\cdot \left(2\cdot 7 \right )^{x}=3\cdot \left(7^{2} \right )^{x}\\ \\ 2^{2x}+2\cdot 2^{x}\cdot 7^{x}=3\cdot 7^{2x}$


Façamos a seguinte mundança de variável:

$p=2^{x},\;\;q=7^{x}$


Substituindo na equação, temos

$p^{2}+2pq=3q^{2}$


Adicionando $q^{2}$ aos dois membros, para completar o quadrado do lado esquerdo da equação, temos

$p^{2}+2pq+q^{2}=3q^{2}+q^{2}\\ \\ \left(p+q \right )^{2}=4q^{2}\\ \\ \left(p+q \right )^{2}=\left(2q \right )^{2}\\ \\ \sqrt{\left(p+q \right )^{2}}=\sqrt{\left(2q \right )^{2}}$

Como $p+q>0$ e $2q>0$, podemos eliminar a potência com a raiz quadrada e ficamos com

$p+q=2q\\ \\ p=2q-q\\ \\ p=q$


Substituindo de volta, chegamos a

$2^{x}=7^{x}\\ \\ \dfrac{2^{x}}{7^{x}}=1\\ \\ \left(\dfrac{2}{7} \right )^{x}=1\\ \\ \left(\dfrac{2}{7} \right )^{x}=\left(\dfrac{2}{7} \right )^{0}\\ \\ x=0$