Question

Na figura abaixo, as quatro circunferência têm o mesmo raio r =2 cm cada uma das circunferências tangencia outras duas, bem como dois lados do quadrado. A área região sombreada é:

Answer 1

Vamos calcular por partes:

1ª parte: Como a figura é um quadrado grande com 4 círculos, vamos dividir em 4, ficando 4 quadrados pequenos e em cada quadrado tem um círculo dentro.

2ª parte: Vamos calcular neste quadrado pequeno a área hachurada:

Usando o cálculo da área do setor:

360º=2π .........................................................  π.r²(área do círculo)

 Ф (ângulo central do setor).....................    Asetor(área do setor)

2π . Asetor = Ф . π.r² ⇒ (corta-se os π)  ⇒ Asetor = Ф . r²/2

r=2 cm e Ф=90º=π/2, então:  Asetor(1ºq) =área do setor do 1º quadrado pequeno  

Asetor(1ºq) = Ф . r²/2 ⇒ Asetor(1ºq) = π/2 . (2)²/2 ⇒ Asetor(1ºq) = 4π/4 ⇒ Asetor(1ºq) = π cm²

Calculando a área do quadrado: lado= 4r ⇒ lado= 4.(2)  ⇒

lado quad= 8 cm, substituindo na Área quad=base . h(altura) ⇒

Área quad= 4.4 ⇒Área quad= 16 cm²

Como a figura do quadrado menor tem 3 áreas hachuradas, 1 é excluída, então fica:

Área hachurada = 3 .(Área do quadrado - Área do setor circular)  ⇒

Área hachurada = 3 .(16 cm² - π cm²) ⇒ Área hachurada = 3 .(15)   ⇒  

Área hachurada = 45 cm² (esta área representa um quadrado pequeno, mas com são 4 quadrados pequenos)

Área hachurada total = 4 . (45) = 180 cm² (seria toda a área hachurada do desenho)