Question

A aplicação das regras de derivação a uma função permitem determinar os pontos de máximo ou de mínimo que ela possua. Sabe-se que a primeira derivada permite encontrar os pontos críticos e a segunda derivada permite analisar se este ponto é de máximo ou de mínimo. Para a função seguinte. ​Analise as afirmações apresentadas. I) Os pontos críticos da função são os valores de x = - 2 e x = 3. II) Para o valor de x = 0, a função apresenta um mínimo local. III) Para o valor de x = 5, a função apresenta um máximo local. É correto o que se afirma em:

Answer 1

Completando a questão:

A função é $f(x) = \frac{2x^3}{3}+7x^2-2$

Alternativas

Alternativa 1:  II e III apenas.

Alternativa 2:  I e II apenas.

Alternativa 3:  I e III apenas.

Alternativa 4:  II apenas.

Alternativa 5:  I, II e III.

Solução

Para calcular o(s) ponto(s) crítico(s) de uma função, precisamos derivá-la.

Sendo assim, obtemos:

f'(x) = 2x² + 14x.

Agora temos igualar a derivada acima à 0:

2x² + 14x = 0

Colocando 2x em evidência:

2x(x + 7) = 0

x = 0 ou x = -7

Portanto, os pontos críticos da função f são: x = 0 e x = -7.

Vamos determinar o máximo e o mínimo local da função.

Para isso, faremos:

f'(x) > 0 ⇔ x < -7 ou x > 0

f'(x) < 0 ⇔ -7 < x < 0.

Então, podemos concluir que x = 0 é um mínimo local e x = -7 é um máximo local.

Analisando as afirmativas, podemos concluir que a única afirmativa certa é a II.

Portanto, alternativa correta: alternativa 4.