Respostas
Vamos lá.
Veja, Vica, que a resolução é simples. Vamos tentar fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.
i) Dado que cos(x) = √(2) / 2, no intervalo: 0 < x < π/2, pede-se o valor da seguinte expressão, que vamos chamá-la de um certo "y" apenas para deixá-la igualada a alguma coisa:
y = sec(x) + cossec(x)
Note que o intervalo dado é o do primeiro quadrante, e equivale a: 0º < x < 90º. E, no 1º quadrante todas as funções trigonométricas são positivas.
Note também que o cosseno, no 1º quadrante, é igual a √(2)/2 no ângulo (ou arco) de 45º. E, nesse ângulo (ou arco) o seno também tem o mesmo valor, ou seja, também é igual a √(2)/2.
ii) Agora vamos trabalhar com a expressão dada que é esta:
y = sec(x) + cossec(x)
Antes veja que sec(x) = 1/(cos(x); e cossec(x) = 1/sen(x). Ora, mas como já vimos que tanto o cosseno como o cosseno são iguais a √(2)/2, então vamos calcular o valor da secante e da cossecante. Assim a nossa expressão "y" , que é esta:
y = sec(x) + cossec(x) ---- irá ficar assim:
y = 1/cos(x) + 1/sen(x) ----- como tanto o valor do cosseno como do seno é igual a "√(2)/2", teremos:
y = 1/[√(2)/2] + 1/[√(2)/2] ---- veja que 1/[√(2)/2] = 2/√(2). Assim, substituindo-se, teremos:
y = 2/√(2) + 2/√(2) ----- como o denominador é o mesmo, então poderemos escrever assim:
y = (2 + 2)/√(2) ---- desenvolvendo, teremos:
y = 4/√(2) ---- para racionalizar, multiplicaremos numerador e denominador por √(2). Fazendo isso, teremos:
y = 4*√(2) / √(2)*√(2) ----- desenvolvendo, teremos:
y = 4√(2) / √(2*2) ------- continuando o desenvolvimento temos:
y = 4√(2) / √(4) ---- finalmente, como √(4) = 2, teremos:
y = 4√(2) / 2 ---- simplificando-se numerador e denominador por "2", iremos ficar apenas com:
y = 2√(2) <--- Esta é a resposta. Ou seja, este é o valor pedido de sec(x) + cossec(x).
É isso aí.
Deu pra entender bem?
OK?
Adjemir.