Question

Integral de \int \frac{\left(1\:-\:x^2\right)^{\frac{3}{2}}}{x^6}\:dx

Answer 1

∫(1 - x²)^3/2 /x^6   dx

faça x=sen(u)  ==> dx = cos(u) du

∫(1 - sen²u)^3/2 /sen⁶u  *  cos(u) du

**Como sen²u+cos²u =1     ==> cos²u =1-sen²u

∫(cos²u)^3/2 /sen⁶u  *    cos(u) du

∫(cos³u) /sen⁶u  *    cos(u) du

∫(cos⁴u) /sen⁶u   du

∫cotg⁴(u) * cossec²(u)    du

Faça    s = cot(u)   ==> ds = -cossec²(u) du

∫ s⁴ * cossec²(u)    ds/(-cossec²(u)  )

- ∫ s⁴ ds  = -(s⁵) / 5  + c   = (-1/5) * s⁵ +c

Como   s=  cot(u)=(-1/5) * cot⁵(u) + c

Como  x=sen(u)     ==> cos²(u)= 1- sen²x =1- x²

*** são ângulos do 1ª quadrante

cos(u) = √(1-x²)

cot (u)= cos(u)/sen(u) =√(1-x²) / x

=(-1/5) * [√(1-x²) / x]⁵+ c    

=(-1/5) * ((1-x²)^(5/2))/x⁵ + c     é a resposta