Question

Dado senx= -24/25, x no terceiro quadrante, calcular:
sex(x/2) e cos(x/2)

Answer 1

Boa tarde!

Calculando-se, primeiro, o valor do cosseno.

$\sin^2\; x+\cos^2\; x=1\\\left(\dfrac{-24}{25}\right)^2+\cos^2\; x=1\\\dfrac{576}{625}+\cos^2\; x=1\\\cos^2\; x=1-\dfrac{576}{625}\\\cos^2\; x=\dfrac{49}{625}\\\cos\; x=\pm\sqrt{\dfrac{49}{625}}\\\cos\; x=\pm\dfrac{7}{25}$

Sendo do terceiro quadrante, o valor do seno e cosseno são negativos, então:

$\mbox{\cos\; x=-\dfrac{7}{25}}$

Agora que temos o cosseno facilmente calculamos o valor dos arco-metade solicitados. Assim:

$\sin\;\left(\dfrac{x}{2}\right)=\sqrt{\dfrac{1-\cos\; x}{2}}\\\sin\;\left(\dfrac{x}{2}\right)=\sqrt{\dfrac{1-\left(-\dfrac{7}{25}\right)}{2}}\\\sin\;\left(\dfrac{x}{2}\right)=\sqrt{\dfrac{\dfrac{25+7}{25}}{2}}\\\sin\;\left(\dfrac{x}{2}\right)=\sqrt{\dfrac{\dfrac{32}{25}}{2}}\\\sin\;\left(\dfrac{x}{2}\right)=\sqrt{\dfrac{16}{25}}\\\sin\;\left(\dfrac{x}{2}\right)=\dfrac{4}{5}$

Agora, podemos calcular, também, o valor do cosseno:

$\cos\;\left(\dfrac{x}{2}\right)=\sqrt{\dfrac{1+\cos\; x}{2}}\\\cos\;\left(\dfrac{x}{2}\right)=\sqrt{\dfrac{1+\left(-\dfrac{7}{25}\right)}{2}}\\\cos\;\left(\dfrac{x}{2}\right)=\sqrt{\dfrac{\dfrac{25-7}{25}}{2}}\\\cos\;\left(\dfrac{x}{2}\right)=\sqrt{\dfrac{\dfrac{18}{25}}{2}}\\\cos\;\left(\dfrac{x}{2}\right)=\sqrt{\dfrac{9}{25}}\\\cos\;\left(\dfrac{x}{2}\right)=\dfrac{3}{5}$

Poderíamos ter obtido mais facilmente este valor diretamente do seno do arco-metade, mas assim fica uma maneira mais independente.

Agora, com relação aos sinais do seno e cosseno. Sendo x do terceiro quadrante este valor oscila entre 180 e 270 graus. Sendo agora o valor a ser calculado x/2, este último oscila entre 90 e 135 graus, valores estes pertencentes ao segundo quadrante. Então, seno é positivo e cosseno é negativo.

$\sin\left(\dfrac{x}{2}\right)=\dfrac{4}{5}\\\cos\left(\dfrac{x}{2}\right)=-\dfrac{3}{5}$

Espero ter ajudado!