Question

Uma dívida no valor de $3.000 deverá ser quitada no prazo de nove meses, em prestações mensais, de acordo com o seguinte plano: a primeira de $400, a segunda de $790, três iguais de $620 cada uma a serem pagas do quarto ao sexto mês, e a última de $880 a ser liquidada no final do nono mês. Determinar a taxa mensal de juros cobrada nessa operação.
R – 5,943% ao mês.

Answer 1

Boa tarde!

Para obter essa taxa deve-se recorrer, matematicamente, a algum método iterativo, pois não há método direto que possa encontrar a resposta de uma equação de nono grau.

De forma a responder a questão irei calcular o valor da taxa usando o método de Newton-Raphson, mas seria muito mais fácil utilizando-se o Excel ou uma calculadora do tipo HP 12C (ou qualquer outra financeira).

Vamos lá:

Equação:

$3\,000=\dfrac{400}{\left(1+i\right)^1}+\dfrac{790}{\left(1+i\right)^2}+\dfrac{620}{\left(1+i\right)^4}+\dfrac{620}{\left(1+i\right)^5}+\dfrac{620}{\left(1+i\right)^6}+\dfrac{880}{\left(1+i\right)^9}$

De forma a deixa essa equação mais fácil de se resolver irei fazer algumas modificações:

$1+i=x$

E multiplicar tudo por $x^9$ para não ficar com nenhuma variável no denominador. Assim:

$3000x^9=400x^8+790x^7+620x^5+620x^4+620x^3+880$

Criando-se a equação para resolver o problema:

$f(x)=3000x^9-\left(400x^8+790x^7+620x^5+620x^4+620x^3+880\right)$

Pronto. Agora só precisamos derivar essa equação:

$f'(x)=27000x^8-\left(3200x^7+5530x^6+3100x^4+2480x^3+1860x^2\right)$

Para obter o que se quer utilizaremos a seguinte função:

$\phi(x)=x-\dfrac{f(x)}{f'(x)}$

Para um dado x inicial. Como não sabemos qual a taxa que torna a equação f(x) igual a zero, arbitraremos uma taxa inicial de 15%. Lembrando que x = 1+i, então, o x inicial será de 1,15

Então:

$\phi(1,15)=1,15-\dfrac{f(1,15)}{f'(1,15)}=1,088065368\\\phi(1,088065368)=1,088065368-\dfrac{f(1,088065368)}{f'(1,088065368)}=1,063118915\\\phi(1,063118915)=1,063118915-\dfrac{f(1,063118915)}{f'(1,063118915)}=1,059499567\\\phi(1,059499567)=1,059499567-\dfrac{f(1,059499567)}{f'(1,059499567)}=1,059430473\\\phi(1,059430473)=1,059430473-\dfrac{f(1,059430473)}{f'(1,059430473)}=1,059430448\\\phi(1,059430448)=1,059430448-\dfrac{f(1,059430448)}{f'(1,059430448)}=1,059430448$

Então, como $x=1+i=1,059430448\\i=0,059430448\\i=5,9430448\%$

Espero ter ajudado!