(Unitau) Se dobrarmos convenientemente as linhas tracejadas das figuras a seguir, obteremos três modelos de figuras espaciais cujos nomes são: O poliedro acima, com exatamente trinta faces quadrangulares numeradas de 1 a 30, é usado como um dado, em um jogo. Admita que esse dado seja perfeitamente equilibrado e que, ao ser lançado, cada face tenha a mesma probabilidade de ser sorteada. Calcule: a) a probabilidade de obter um número primo ou múltiplo de 5, ao lançar esse dado uma única vez; b) o número de vértices do poliedro.
Respostas
Primeira questão
As alternativas são:
a) tetraedro, octaedro e hexaedro.
b) paralelepípedo, tetraedro e octaedro.
c) octaedro, prisma e hexaedro.
d) pirâmide, tetraedro e hexaedro.
e) pirâmide pentagonal, prisma pentagonal e hexaedro.
Solução
Perceba que na primeira figura temos apenas uma base (pentagonal). Sendo assim, a figura é uma pirâmide pentagonal.
Na segunda figura temos duas bases pentagonais. Logo, a figura é um prisma pentagonal.
Por fim, a terceira figura apresenta seis faces quadradas. Portanto, é um hexaedro.
Assim, a alternativa correta é a letra e).
Segunda questão
Sabemos que um número é considerado primo quando possui dois divisores: 1 e ele mesmo.
Entre 1 e 30 temos que os seguintes números são primos:
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29.
Agora, entre 1 e 30 temos que os seguintes números são múltiplos de 5:
5, 10, 15, 20, 25, 30.
Perceba que a interseção entre os dois conjuntos é igual a 1.
Como queremos obter um número primo ou um múltiplo de 5, então o número de casos favoráveis é igual a:
A = 10 + 6 - 1
A = 15
Portanto,
a) a probabilidade é igual a:
P = 15/30
P = 1/2.
b) O poliedro possui 30 faces quadrangulares.
Sendo assim,
F = 30
A = (4.30)/2 = 60.
Logo, pela Relação de Euler:
V + F = A + 2
V + 30 = 60 + 2
V + 30 = 62
V = 32.
Portanto, o poliedro possui 32 vértices.
Resposta:
Primeira questão
As alternativas são:
a) tetraedro, octaedro e hexaedro.
b) paralelepípedo, tetraedro e octaedro.
c) octaedro, prisma e hexaedro.
d) pirâmide, tetraedro e hexaedro.
e) pirâmide pentagonal, prisma pentagonal e hexaedro.
Solução
Perceba que na primeira figura temos apenas uma base (pentagonal). Sendo assim, a figura é uma pirâmide pentagonal.
Na segunda figura temos duas bases pentagonais. Logo, a figura é um prisma pentagonal.
Por fim, a terceira figura apresenta seis faces quadradas. Portanto, é um hexaedro.
Assim, a alternativa correta é a letra e).
Segunda questão
Sabemos que um número é considerado primo quando possui dois divisores: 1 e ele mesmo.
Entre 1 e 30 temos que os seguintes números são primos:
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29.
Agora, entre 1 e 30 temos que os seguintes números são múltiplos de 5:
5, 10, 15, 20, 25, 30.
Perceba que a interseção entre os dois conjuntos é igual a 1.
Como queremos obter um número primo ou um múltiplo de 5, então o número de casos favoráveis é igual a:
A = 10 + 6 - 1
A = 15
Portanto,
a) a probabilidade é igual a:
P = 15/30
P = 1/2.
b) O poliedro possui 30 faces quadrangulares.
Sendo assim,
F = 30
A = (4.30)/2 = 60.
Logo, pela Relação de Euler:
V + F = A + 2
V + 30 = 60 + 2
V + 30 = 62
V = 32.
Portanto, o poliedro possui 32 vértices.
Explicação passo-a-passo: