Question

Calcule o perímetro da base de um prisma hexagonal regular em função da constante k, sabendo que
o prisma é equivalente a um cubo de aresta k, cuja diagonal tem medida igual à altura do prisma.

Answer 1

Sabemos que dois sólidos são equivalentes se tem igual volume. Portanto, o volume do prisma é igual ao volume do cubo.

Vp = Vc

A diagonal do cubo é o produto da aresta por √3. Assim, se a aresta do cubo mede k, temos que sua diagonal mede:

d = k√3.

A altura do prisma é igual a diagonal do cubo. Logo:

h = k√3

Substituindo os valores na fórmula do volume, temos:

Vp = Vc

Ab·h = k³

Ab·k√3 = k³

Ab = k³/k√3

Ab = k²/√3

Como a base do prisma é um hexágono regular, sua área é dada por:

A = 3L²√3/2

Igualando, temos:

k²/√3 = 3L²√3/2

2·k² = 3L²√3·√3

2k² = 3L²·3

2k² = 9L²

L² = 2k²/9

L = √2k²/9

L = √2k/3

Como o hexágono é regular, seu perímetro é:

P = 6·L

P = 6·√2k/3

p = 2√2k