Question

Análise combinatória: quantws comissões de 5 elementos podemos formar com os 30 alunos de uma classe?

Answer 1

 Tomemos como exemplo a seguinte situação: quantas comissões de 5 elementos podemos formar com os 6 alunos de uma classe?

Resposta: nomeando os sete alunos, {A, B, C, D, E e F}.

Temos então,
BCDEF
ACDEF
ABDEF
ABCEF
ABCDF
ABCDE
 
 Poderíamos, também, ter aplicado a fórmula de Combinação, ou seja,

$C_{n,p}=\frac{n!}{(n-p)!p!}\\\\C_{6,5}=\frac{6\cdot5!}{5!\,1!}\\\\C_{6,5}=6$
 
 Ora, uma vez que o problema que sugeri é análogo ao que propôs, segue que,

$C_{30,5}=\frac{n!}{(n-p)!p!}\\\\C_{30,5}=\frac{30\cdot29\cdot28\cdot27\cdot26\cdot25!}{25!\,5!}\\\\\boxed{C_{30,5}=142506}$

Answer 2

Combinação:

C                 30!                30.29.28.27.26.25! 
  30,5 = ------------------   = -------------------------- (cancelo os 25!)
              5! (30 - 5)!                    5!   25!
====================================================
                   30.29.28.27.26        30.29.28.27.26.      
C         =     --------------------  =    ----------------------- = 6.29.7.9.13 = 142506
  30,5                   5!                      5.4.3.2.1