Question

<(u+v),(u-v)> = ||u||² - ||v||², sendo < , > o produto interno

Answer 1

Temos que mostrar que se ( u + v ) . ( u - v ) então acontece ||u||² - ||v||².

Vamos partir da hipótese e chegar na conclusão. Ou seja,

Do produto notável, temos:

a² - b² = ( a + b ) ( a - b )

Só que no produto interno entre vetores consideramos a² = || a ||², que por definição do módulo é o mesmo que a². Partindo desses conceitos, obtemos:

( u - v ) ( u + v ) = || u ||² + uv - uv - || v ||²

= || u ||² - || v ||²

C.q.d.

Bons estudos!