Question

Dados os vetores v1 =(1,2,5) v2=(4,5, -1) eV3=(2,3,2).
verifique :
a)se os vetores são linearmente independente ou dependentes em R3 .
b)se vetores formam uma base.
Em caso afirmativo, determine as coordenadas v=(11,13,-11),em relação aos vetores v1,v2, v3.
justifique a tua resposta em cada item

Answer 1

a ) Os vetores são LD ( linearmente dependentes ) se o determinante formado entre os três vetores for igual a 0. Caso contrário serão LI ( linearmente independentes ). Ou seja,

$\left[\begin{array}{ccc}1&2&5\\4&5&-1\\2&3&2\end{array}\right] =0\\ \\ \\ \left[\begin{array}{ccc}1&2&5\\4&5&-1\\2&3&2\end{array}\right]\begin{array}{ccc}1&2\\4&5\\2&3\end{array}\right\\ \\ \\ 10-4+60-50+3-16=0\\ \\ \\ 3\neq 0$

Os vetores são LI, pois o determinante não deu 0.

b ) Os vetores formam uma base, pois são LI. Dizemos que v é combinação linear de v1, v2 e v3 se tivermos escalares x,y e z, tal que aconteça v = xv1 + yv2 + zv3, onde x , y e z são as coordenadas de v. Portanto,

$\mathsf{(11,13,-11)=x(1,2,5)+y(4,5,-1)+z(2,3,2)}\\ \\ \\ \mathsf{~~11=x+4y+2z}\\ \\ \mathsf{~~13=2x+5y+3z}\\ \\ \mathsf{-11=5x-y+2z}$

Para determinarmos as coordenadas temos que resolver esse sistema de 3 incógnitas.

• Passo 1: Multiplicar por ( 5 ) a expressão - 11 = 5 x - y + 2 z e, em seguida, somar com a expressão 13 = 2 x + 5 y + 3 z. Fazendo isso você chegará em - 42 = 27 x + 13 z.
• Passo 2: Multiplicar por ( 4 ) a expressão - 11 = 5 x - y + 2 z e somar com 11 = x + 4 y + 2 z. Você chegará em - 33 = 21 x + 10 z.

Isolando o x

$\mathsf{x=\dfrac{-42-13z}{27} }$

Substituindo

$\mathsf{-33=21(\dfrac{-42-13z}{27})+10z}\\ \\ \\ \mathsf{-891=270z-882-273z}\\ \\ \\ \mathsf{-9=-3z}\\ \\ \\ \mathsf{z=3}$

Substituindo o z

$\mathsf{-33=21x+10.3}\\ \\ \\ \mathsf{-33=21x+30}\\ \\ \\ 21x=-63\\ \\ \\ \mathsf{x=-3}$

Substituindo o z e x

$\mathsf{-11=5.(-3)-y+2.3}\\ \\ \\ \mathsf{y=11-15+6}\\ \\ \\ \mathsf{y=2}$

As coordenadas de v em relação a v1,v2 e v3 é ( - 3, 2 , 3 ).