Ache a equação da circunferência que passa pelos pontos A, B e D nos seguintes casos:?
b) A (1, 1), B (2, 0) e D (1, -1)
preciso dos calculos certos deseja agradeço
Respostas
Vamos lá.
Fernanda, isso dá bastante trabalho. Mas vamos ver.
i) Ache a equação reduzida da circunferência que passa pelos pontos A(1; 1), B(2; 0) e D(1; -1).
ii) Vamos chamar o centro da circunferência de ponto C(x; y). Agora vamos encontrar as distâncias (d) do centro C(x; y) a cada ponto dado. E note que a a distância que encontrarmos vai ser igual ao raio da circunferência. Assim teremos:
ii.1) Distância (d) do centro C(x; y) ao ponto A(1; 1):
d² = (x-1)² + (y-1)² ----- desenvolvendo, temos:
d² = x²-2x+1 + y²-2y+1 ---- organizando, temos:
d² = x² + y² - 2x - 2y + 2 . (I) .
ii.2) Distância (d) do centro C(x; y) ao ponto B(2; 0):
d² = (x-2)² + (y-0)² ----- desenvolvendo, temos:
d² = x²-4x+4 + y² ----- organizando, temos:
d² = x² + y² - 4x + 4 . (II) .
ii.3) Distância (d) do centro C(x; y) ao ponto D(1; -1).
d² = (x-1)² + (y-(-1))²
d² = (x-1)² + (y+1)² ----- desenvolvendo, temos:
d² = x²-2x+1 + y²+2y+1 ---- organizando, temos:
d² = x² + y² - 2x + 2y + 2 . (III).
iii) Agora veja que ficamos com um sistema formado pelas expressões (I), (II) e (III), que são estas:
{d² = x² + y² - 2x - 2y + 2 . (I)
{d² = x² + y² - 4x + 4 . (II)
{d² = x² + y² - 2x + 2y + 2 . (III)
Vamos fazer o seguinte: como todas as distâncias representam o valor do raio ao quadrado, então vamos igualá-las. Inicialmente vamos igualar as expressões (I) e (II), ficando:
x² + y² - 2x - 2y + 2 = x² + y² - 4x + 4 ---- passando todo o 2º membro para o primeiro, teremos:
x² + y² - 2x - 2y + 2 - x² - y² + 4x - 4 = 0 ---- reduzindo os termos semelhantes, temos:
2x - 2y - 2 = 0 ----- passando "-2" para o 2º membro, temos:
2x - 2y = 2 ----- simplificando-se ambos os membros por "2", teremos:
x - y = 1 . (IV) .
Agora igualaremos a expressão (I) com a expressão (III). Logo:
x² + y² - 2x - 2y + 2 = x² + y² - 2x + 2y + 2 --- passando todo o 2º membro para o 1º, teremos:
x² + y² - 2x - 2y + 2 - x² - y² + 2x - 2y - 2 = 0 --- reduzindo os termos semelhantes, teremos:
- 4y = 0 ---- ou apenas:
4y = 0
y = 0/4
y = 0 <---- Este é o valor da ordenada "y" do ponto C(x; y).
Agora, para encontrar o valor da abscissa "x" do ponto C(x; y) vamos na expressão (IV), que é esta:
x - y = 1 ---- substituindo-se "y" por "0", teremos:
x - 0 = 1 --- ou apenas:
x = 1 <--- Este é o valor da abscissa "x" do ponto C(x; y).
iv) Assim, já temos que o centro da circunferência [C(x; y)] será este:
C(1; 0) <--- Este é o centor da circunferência da sua questão.
v) Agora vamos encontrar o raio. Para isso, basta irmos em uma das três primeiras expressões [ou na (I), ou na (II), ou na (III)] e, em quaisquer uma delas, substituiremos o "x' por "1" e o "y" por "0". Vamos na expressão (II), que é esta:
d² = x² + y² - 4x + 4 ---- substituindo-se "x" por "1" e "y" por "0", teremos:
d² = 1² + 0² - 4*1 + 4 ---- desenvolvendo, temos:
d² = 1 + 0 - 4 + 4 --- reduzindo os termos semelhantes, e considerando que d² é o raio ao quadrado, então substituiremos "d²" por "r²", iremos ficar com:
r² = 1 <--- Este é o valor do raio ao quadrado da circunferência da sua questão.
vi) Agora veja: uma circunferência que tenha centro em C(x₀; y₀) e raio = r tem a seguinte a sua equação reduzida encontrada assim:
(x-x₀)² + (y-y₀)² = r² . (V).
Assim, tendo a expressão (V) acima como parâmetro, então a circunferência da sua questão, que tem centro em C(1; 0) e tem raio = 1, terá a seguinte equação reduzida:
(x-1)² + (y-0)² = 1² ----- como (y-0)² = y²; e como 1² = 1, ficaremos com:
(x-1)² + y² = 1 <--- Esta é a resposta. Ou seja, esta é a equação reduzida da circunferência da sua questão. Compare esta equação com a fórmula de uma equação reduzida que está na expressão (V) e você verá que a equação reduzida da circunferência da sua questão será exatamente a que encontramso acima.
É isso aí.
Deu pra entender bem?
OK?
Adjemir.