Question

Um avião a serviço humanitário voa a uma altitude de 845m com velocidade horizontal constante de 60m/s. No instante , um pacote é solto do avião, que continua o seu voo sem mudar a própria velocidade. O vetor posição do pacote é , em unidades do SI, conforme observado pelas pessoas em terra, imediatamente abaixo do avião em . Em outras palavras, o sistema de referência S foi escolhido de tal maneira que, em , sua origem está no solo, com o eixo x apontando no sentido de voo do avião e o eixo y apontando para cima, diretamente para o avião. Determine:

a) [2,0 pontos] A expressão analítica do vetor velocidade do pacote.

b) [2,0 pontos] As componentes horizontal (vx) e vertical (vy) da velocidade do pacote ao atingir o solo (isto é, quando y = 0).

c) [2,0 pontos] A equação da trajetória do pacote.

Answer 1

Olá, tudo bem? Anexei uma figura pra facilitar durante a explicação :)

Vou começar pelo item B, pois precisarei de uma informação desse item para o item A.

b) O movimento pode ser dividido em:

- Horizontal: essa velocidade é constante e igual à velocidade do avião. Assim, teremos:

Vx = 60 m/s.

- Vertical: a velocidade na direção vertical pode ser calculada através da fórmula Vy = Voy + a*t. A velocidade na direção y inicialmente é zero, portanto Voy = 0. Lembremos também que a aceleração da gravidade a = 10 $\frac{m}{s^{2}}$ . Assim, teremos:

Vy = 0 + 10 * t

Vy = 10 t

a) A expressão analítica para o vetor velocidade do pacote (VP) pode ser obtida pelo teorema de pitágoras:

$Vp^{2}$ =  $Vx^{2}$   +  $Vy^{2}$

$Vp^{2}$  =  $60^{2}$  + 10 $t^{2}$

$Vp^{2}$   = 3600 + 10 $t^{2}$

$Vp^{2}$   = 100 (36 + $t^{2}$  )

Vp = 10 * $\sqrt{36 + t^{2}}$

Agora, vamos calcular as velocidades ao tocar o solo, ou seja, quando y = 0. Pelo item C, sabemos que a trajetória no sentido y é: Sy = 845 - 5 $t^{2}$

Assim, teremos:

0 = 845 - 5 $t^{2}$

5 $t^{2}$    = 845

$t^{2}$  = 169

t = 13 s (Esse é o tempo de queda)

Assim, as velocidades ao tocar o chão, serão:

Vx = 60 m/s (Constante)

Vy = 10 t

Vy = 130 m/s

c) Para obter a equação da trajetória do pacote, vamos escrever inicialmente a posição em função do tempo:

- Coordenada x:

Sx = Sox + Vox * t

Sx = 0 + 60 * t

Sx = 60t

- Coordenada y:

Sy = Soy + Voy * t + $\frac{a * t^{2}}{2}$

Sy = 845 + 0 * t - $\frac{a * t^{2}}{2}$

Sy = 845 - 5 $t^{2}$

Uma vez que x = 60t, podemos escrever que t = $\frac{x}{60}$ . Assim, temos:

Sy = 845 - 5 * $\frac{x^{2}}{3600}$

Finalmente, simplificando teremos:

Sy = 845 -  $\frac{x^{2}}{720}$

Bons estudos ;)