Respostas
Primeiramente: Império Bizantino = Império Romano
Segundamente:
A relação do cristianismo com o Império Romano é que, no início, os cristãos eram perseguidos pelos romanos por não adorarem os deuses romanos (isso inclui os adorar próprios imperadores, já que alguns se consideravam divindades).
Contudo, o cristianismo se espalhou rapidamente e já não estava mais surtindo efeito a repressão. Além do mais, o imperador romano Constantino se converteu ao cristianismo, hierarquizando a igreja e estabelecendo a capital dela em Roma (daí vem a Igreja Católica Apostólica Romana). Ele fez o Concílio de Nicéia onde tentou-se unificar os cristãos de modo que reconhecessem no imperador um líder secular E cristão, para não desestabilizar o governo.
Enfim, as coisas continuam até o Imperio Romano do Oriente, onde o cristianismo teve forte influência.