Question

Qual o valor de:
a) log 3 + log 5?
15 15
b) log 72 - log 12 - log 2?
3 3 3
c) ⅓ • log 8 +2 • log 2 + log 5 - log 9000
15 15 15 15

Answer 1

a)

$log_{15}3+log_{15}5 = x\\\\log_{15} (3 \times 5)=x\\\\(3 \times 5)=15^x\\\\15^1=15^x\\\\x=1$

b)

$log_372-log_312-log_32=x\\\\log_3\frac{72}{12}-log_32=x\\ \\log_36-log_32=x\\\\log_3\frac{6}{2}=x\\\\3^1=3^x\\\\x=1$

c)

$\frac{1}{3}log_{15}8+2log_{15}2 +log_{15}5-log_{15}9000=x\\\\log_{15}8^{\frac{1}{3}}+log_{15}2^2+log_{15}5-log_{15}9000=x\\\\log_{15}2+log_{15}4+log_{15}5-log_{15}9000=x\\\\log_{15}\frac{2*4*5}{9000}=x\\\\log_{15}\frac{1}{225}=x\\\\\frac{1}{225}=15^x\\\\15^{-2}=15^x\\\\x = -2$

Answer 2

Vamos lá.

Veja, Fernando, que a resolução parece simples. Vamos tentar fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.

i) Pede-se para determinar o valor das seguintes expressões logarítmicas, que vamos chamar cada uma delas de um certo "y", apenas para deixá-las igualadas a alguma coisa.

a)

y = log₁₅ (3) + log₁₅ (5) ---- note que poderemos transformar esta soma em produto (é uma propriedade logarítmica), com o que ficaremos assim:

y = log₁₅ (3*5) ----- como "3*5 = 15", teremos:

y = log₁₅ (15) ---- note que quando o logaritmando é igual à base, o logaritmo SEMPRE é igual a "1". Então:

y = 1 <--- Esta é a resposta para o item "a".

b)

y = log₃ (72) - log₃ (12) - log₃ (2) ----- veja que poderemos reescrever esta expressão do seguinte modo, o que dará na mesma coisa:

y = log₃ (72) - [log₃ (12) + log₃ (2)] ------ vamos transformar a soma (que está dentro dos colchetes) em produto (é outra propriedade logarítmica). Assim, ficaremos com:

y = log₃ (72) - [log₃ (12*2)] ----- desenvolvendo, ficamos com:

y = log₃ (72) - [log₃ (24)] ---- retirando-se os colchetes, ficaremos com:

y = log₃ (72) - log₃ (24) ---- note que poderemos transformar esta subtração em divisão (é outra propriedade logarítmica). Então:

y = log₃ (72/24) ------ como "72/24 = 3", ficaremos com:

y = log₃ (3) ----- como o logaritmando é igual à base, então o logaritmo será igual a "1".Assim:

y = 1 <--- Esta é a resposta para o item "b".

c)

y = (1/3)*log₁₅ (8) + 2*log₁₅ (2) + log₁₅ (5) - log₁₅ (9.000)  

Agora note que:

8¹/³ = ∛(8) = 2;  e 9.000 = 2³.3².5³. Assim, substituindo-se, teremos:

y = log₁₅ (2) + 2log₁₅ (2) + log₁₅ (5) - [log₁₅ (2³.3².5³)] ---- vamos logo transformar em soma o produto que está dentro dos colchetes, ficando assim:

y = log₁₅ (2) +2log₁₅ (2) + log₁₅ (5) - [log₁₅ (2³) + log₁₅ (3²) + log₁₅ (5³)] ---- note que, logo no início, "log₁₅ (2) + 2log₁₅ (2) = 3log₁₅ (2)" e no que está dentro dos colchetes vamos passar cada expoente multiplicando o respectivo log, que é uma propriedade logarítmica). Assim ficaremos:

y = 3log₁₅ (2) + log₁₅ (5) - [3log₁₅ (2) + 2log₁₅ (3) + 3log₁₅ (5)] ---- retirando-se os colchetes, iremos ficar da seguinte forma:

y = 3log₁₅ (2) + log₁₅ (5) - 3log₁₅ (2) - 2log₁₅ (3) - 3log₁₅ (5) ----- reduzindo os termos semelhantes, iremos ficar apenas com:

y = - 2log₁₅ (5) - 2log₁₅ (3) ----- note que isto pode ser reescrito assim , o que dá no mesmo:

y = - [2log₁₅ (5) + 2log₁₅ (3)] ---- vamos passar os números que estão multiplicando como expoentes dos respectivos logs. Assim:

y = - [log₁₅ (5²) + log₁₅ (3²)] ----- note que podemos transformar a soma em produto, ficando assim:

y = - [log₁₅ (5²*3²)] ---- ou, o que dá no mesmo:

y = - [log₁₅ (5*3)²] ---- desenvolvendo, teremos;

y = - [log₁₅ (15)²] ----- domo o expoente pode passar multiplicando o respectivo log, então teremos que:

y = - [2*log₁₅ (15)] ----- como log₁₅ (15) = 1 (veja que a base é igual ao logaritmando, quando SEMPRE o resultado é "1"), ficaremos com:

y = - [2*1]

y = - [2] --- ou apenas:

y = - 2 <--- Esta é a resposta para o item "c".

É isso aí.

Deu pra entender bem?

Ok?

Adjemir.