Question

Quando temos uma equação diferencial homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes, a solução geral do PVI é da forma y left parenthesis x right parenthesis equals d subscript 1 y subscript 1 left parenthesis x right parenthesis plus d subscript 1 y subscript 2 left parenthesis x right parenthesis, onde y subscript 1 left parenthesis x right parenthesis space e space y subscript 2 left parenthesis x right parenthesis são duas soluções da EDO que tem o wronskiano diferente de zero. Para encontrar as soluções y subscript 1 left parenthesis x right parenthesis space e space y subscript 2 left parenthesis x right parenthesis, podemos utilizar o método dos coeficientes indeterminados (ou variação de parâmetros), e o tipo de solução dependerá da equação característica.

Resolva a equação diferencial y " plus 5 y equals 0 com os valores de contorno y left parenthesis 0 right parenthesis equals 1 space e space y left parenthesis 1 right parenthesis equals 5.

PRECISO DA RESOLUÇÃO COMPLETA PARA ATIVIDADE DISCURSIVA.
QUEM PUDER AJUDAR, OBRIGADO.

Answer 1

Alguém fez? por favor ;/

Answer 2

Resposta:

Calculando as raízes da equação característica teremos:

Y²+5=0

Y=+-√5i

Nossa resposta seguirá o modelo abaixo:

y=e^at (C1.cos⁡(bt)+C2sen(bt))

Efetuando a substituição teremos:

y=e^0t (C1.cos⁡(√5t)+C2sen(√5t))

y=C1.cos⁡(√5t)+C2sen(√5t)

Substituindo as condições iniciais dadas na questão

Y (0) = 1

1=C1.cos⁡(√5.0)+C2sen(√5.0)

1=C1+ 0

C1=1

Y (1) =5

5=1.C1.cos⁡(√5.1)+C2sen(√5.1)

5=C1.cos⁡(√(5.))+C2sen(√(5.))

5=cos⁡(√(5.))+C2sen(√(5.))

C2=cos⁡〖(5-cos⁡(√(5)))/sen(√(5.)) 〗 = 7,14

Com isso a resposta é:

y=Cos⁡(√5t)+7,14sen(√5t)

Explicação passo-a-passo: