Um monopolista determinou que o custo total de produção de x unidades de certa mercadoria é C(x) = 25x + 20000. A equação de demanda é x + 50p = 5000, onde são solicitadas x unidades por semana a um preço de p reais por unidade. Se o lucro semanal deve ser maximizado, determine o número de unidades que se deve produzir a cada semana e o preço de cada unidade. Assinale a alternativa correta. Devem ser produzidas 2065 unidades a preço de 54,5 reais para se obter o lucro máximo. Devem ser produzidas 1405 unidades a preço de 84,5 reais para se obter o lucro máximo. Devem ser produzidas 1875 unidades a preço de 62,5 reais para se obter o lucro máximo. A) B) C) D) E) A) B) C) D) E) A) B) C) D) E) A) B) C) D) E) A) B) C) D) E) A) B) C) D e v e m s e r p r o d u zid a s 1 2 5 5 u nid a d e s a p r e ç o d e 7 5,0 r e ais p a r a s e o b t e r o lu c r o m á xim o. Devem ser produzidas 1045 unidades a preço de 82,0 reais para se obter o lucro máximo. m monopolista determinou que o custo total de produção de x unidades de certa mercadoria é C(x) = 25x + 20000. A equação de demanda é x + 50p = 5000, onde são solicitadas x unidades por semana a um preço de p reais por unidade. Se o lucro semanal deve ser maximizado, determine o número de unidades que se deve produzir a cada semana e o preço de cada unidade. Assinale a alternativa correta. Devem ser produzidas 2065 unidades a preço de 54,5 reais para se obter o lucro máximo. Devem ser produzidas 1405 unidades a preço de 84,5 reais para se obter o lucro máximo. Devem ser produzidas 1875 unidades a preço de 62,5 reais para se obter o lucro máximo. A) B) C) D) E) A) B) C) D) E) A) B) C) D) E) A) B) C) D) E) A) B) C) D) E) A) B) C) D e v e m s e r p r o d u zid a s 1 2 5 5 u nid a d e s a p r e ç o d e 7 5,0 r e ais p a r a s e o b t e r o lu c r o m á xim o. Devem ser produzidas 1045 unidades a preço de 82,0 reais para se obter o lucro máximo.
Respostas
A função preço por unidade ao se demandar x unidades por semana da mercadoria é:
P(x) = (5.000 - x)/50
Assim, a receita ao se vender x unidades por semana é:
R(x) = x·P(x)
R(x) = x·(5.000 - x)/50
Como o lucro é igual a receita menos a despesa, temos que o lucro é dado pela função:
L(x) = x·(5.000 - x)/50 - 25x - 20.000
Agora, vamos determinar qual a produção para que se tenha lucro máximo.
Um máximo relativo de L em (0, 5.000) é um ponto x tal que L'(x) = 0 e L''(x) < 0.
Temos L'(x) = 100 - 2x/50 − 25 = 0
- 2x/50 + 75 = 0
- 2x/50 = - 75
- 2x = - 75·50
- 2x = - 3750
x = 1.875
Como L''(x) = - 2/50 < 0, L possui um máximo relativo em x = 1.875.
Agora, sendo L(0) = - 20.000, L(1.875) = 50.312,5 e L(5.000) = - 145.000, temos que L possui um máximo absoluto em x = 1.875.
Assim, o lucro máximo é obtido ao se produzir 1.875 unidades da mercadoria por semana.
O preço de cada unidade será P(1875) = (5.000 - 1.875)/50 = 62,5 reais.
O lucro semanal será de L(1875) = 50.312,5.
Alternativa E.
Devem ser produzidas 1875 unidades a preço de 62,5 reais para se obter o lucro máximo.