o sistema abaixo tem solução, tal que x+y seja igual a:
{4x - 3y = 5
{log2 ^x + log2 ^y = 1
a) -3 b) 1 c) -11/7 d) 41/12 e) 3
Respostas
Vamos lá.
Veja, Luciane, que a resolução parece mais ou menos simples. Vamos tentar fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.
i) Tem-se: O sistema abaixo tem solução tal que "x + y" seja igual a quanto?
{ 4x - 3y = 5 . (I)
{log₂ (x) + log₂ (y) = 1 . (II)
Veja: primeiro vamos na expressão (II) e vamos trabalhar com ela a fim de "arrumá-la" para ficar fazendo parte do sistema acima. Assim, repetindo a expressão (II), teremos;
log₂ (x) + log₂ (y) = 1 ---- note que podemos transformar esta soma em produto (é uma propriedade logarítmica). Então:
log₂ (xy) = 1 ---- agora veja que, aplicando a definição de logaritmo, o que temos aqui é a mesma coisa que:
2¹ = xy ---- ou apenas:
2 = xy ---- ou, invertendo-se, o que dá no mesmo:
xy = 2 ----- isolando "x", teremos:
x = 2/y . (III)
ii) Agora vamos na expressão (I) e, nela, substituiremos "x" por "2/y". A expressão (I) é esta:
4x - 3y = 5 ----- substituindo-se "x" por "2/y", teremos :
4*(2/y) - 3y = 5 ----- desenvolvendo, temos:
8/y - 3y = 5 ----- mmc no 1º membro é "y". Assim, utilizando-o apenas no primeiro membro, teremos (lembre-se: toma-se o mmc e divide-se pelo denominador; o resultado que der multiplica-se pelo numerador):
(1*8 - y*3y)/y = 5 ------ desenvolvendo, teremos:
(8 - 3y²)/y = 5 ---- multiplicando-se em cruz, teremos:
8 - 3y² = 5y ---- vamos passar todo o 1º membro para o 2º, ficando assim:
0 = 5y - 8 + 3y² ----- organizando e invertendo-se, o que dá no mesmo, temos:
3y² + 5y - 8 = 0 ----- agora note: se você aplicar Bháskara vai encontrar as seguintes raízes:
y' = -8/3 ----- raiz inválida, pois "y", como é logaritmando de "log₂ (y)" então jamais poderá ser negativo, pois não há logaritmo de números negativos.
y'' = 1 <--- raiz válida, pois "1" é um número positivo.
Assim, vamos na expressão (III) para encontrar o valor de "x". A expressão (III) é esta:
x = 2/y ----- substituindo-se "y" por "1", teremos:
x = 2/1
x = 2 <--- Este é o valor de "x".
iii) Agora vamos para o que está sendo pedido, que é encontrar o valor de "x+y" tal que o sistema exista. Então, como já vimos que o sistema só existirá se x = 2 e y = 1, então teremos que:
x + y = 2 + 1
x + y = 3 <--- Esta é a resposta. Opção "e".
É isso aí.
Deu pra entender bem?
OK?
Adjemir.
Tarefa
o sistema abaixo tem solução, tal que x+y seja igual a:
{4x - 3y = 5 (I)
{log2(x) + log2(y) = 1 (II)
Explicação passo-a-passo:
de (II) vem
log2(x) + log2(y) = log2(2)
log2(xy) = log2(2)
x*y = 2 (III)
4x - 3y = 5 (I)
y = 2/x
4x - 6/x = 5
equaçao do 2 grau
4x² - 5x - 6 = 0
delta d² = 25 + 4*4*6 = 25 + 96 = 121, d = 11
x1 = (5 + 11)/8 = 16/8 = 2, y1 = 2/x = 2/2 = 1
x2 = (5 - 11)/8 = -6/8 = -3/4, y2 = -8/3 não serve
S = (2, 1)
agora x + y = 2 + 1 = 3 (E)