Question

a solução do sistema de equações logarítmicas é o par ordenado (x,y)
$\binom{log_{4}(x) + log_{2}(y) = 5}{log_{2}(x) - log_{4}(y) = 0 }$
com x diferente de 1.Calcule o valor de
$\frac{x}{y}$

Answer 1

$\log_4x+\log_2y=5~~~(I)\\ \log_2x-\log_4y=0~~(II)$

preparando ( I ) mudando de base

${\log_2x\over\log_24}+\log_2y=5\\ \\ {\log_2x\over2}+\log_2y=5\\ \\ mmc=2\\ \\ \log_2x+2\log_2y=10~~~(I)$

preparando (II) mudando de base

$\log_2x-{\log_2y\over\log_24}=0\\ \\ \log_2x-{\log_2y\over2}=0\\ \\ mmc=2\\ \\ 2\log_2x-\log_2y=0~~~(II)$

Sistema, calcular pelo método da substituição

vamos isolar na (II)

$-\log_2y=-2\log_2x~~~\times(-1)\\ \\ \log_2y=2\log_2x$

substituindo na (I)

$\log_2x+2(2\log_2x)=10\\ \\ \log_2x+4\log_2x=10\\ \\ 5\log_2x=10\\ \\ \log_2x=10\div5\\ \\ \log_2x=2\\ \\ x=2^2\\ \\\fbox{ x=4 }$

substituir x em

$log_2y=2\log_2x\\ \\ log_2y=2\log_24\\ \\ \log_2y=2(2)\\ \\ \log_2y=4\\ \\ y=2^4\\ \\\fbox{ y=16 }$

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${x\over y}={4\over16}={1\over4}$