Question

Determine a equação vetorial da reta que passa pelo ponto A = (-1, 3, 5), sendo paralela à reta s, cuja equação simétrica está representada abaixo:(anexo)

alternativas:

X = (-1, 3, 5) + (1, 2, -3).t
X = (-1, 3, 5) + (3, -1, -5).t
X = (1, 2, -3) + (-1, 3, 5).t
X = (3, -1, -5) + (-1, 3, 5).t
X = (-1, 3, 5) + (-1, -2, 3).t

Answer 1

Da equação simétrica de s retiramos que o vetor diretor da reta s é Vs = (3, -1, -5)
Seja R uma reta que é paralela a S temos que o vetor diretor de S é um múltiplo escalar de R. Podemos pegar Vs para ser o vetor de R

Assim, a equação de R na forma simétrica será:
R: (-1,3,5) +(3,-1,-5)t

Segunda alternativa

Answer 2

✅ Após resolver todos os cálculos, concluímos que uma equação vetorial da reta "r" paralela à reta "s" é:

   $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf r: X = (-1, 3, 5) + (3, -1, -5)t\:\:\:}} \end{gathered} }$

Se nos foi dado a equação simétrica da reta "r":

               $\Large\displaystyle\begin{gathered}s: \frac{x + 1}{3} =\frac{y + 2}{-1} =\frac{z - 3}{-5} \end{gathered}$

Sabendo que a equação simétrica da reta é dada por:

          $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\frac{X_{P} - X_{A}}{X_{\vec{v}}} =\frac{Y_{P} - Y_{A}}{Y_{\vec{v}}} =\frac{Z_{P} - Z_{A}}{Z_{\vec{v}}} \end{gathered} }$

Onde:

                  $\Large\begin{cases}P = Ponto\:gen\acute{e}rico\\A = Ponto\:conhecido\:de\:r\\\vec{v} = Vetor\:diretor\:da\:reta \end{cases}$

Obtendo o parâmetro "λ" necessário para montar a equação paramétrica da reta "s" poderemos recuperar "P", "A" e "v". Desse modo temos:

   $\Large\displaystyle\begin{gathered}\lambda = \frac{x + 1}{3}\Longrightarrow\lambda3 = x+ 1\Longrightarrow x = -1 + \lambda3 \end{gathered}$

   $\Large\displaystyle\begin{gathered}\lambda = \frac{y + 2}{-1} \Longrightarrow y + 2 = \lambda(-1)\Longrightarrow y = -2 + \lambda(-1) \end{gathered}$

   $\Large\displaystyle\begin{gathered}\lambda = \frac{z - 3}{-5}\Longrightarrow z - 3 = \lambda(-5)\Longrightarrow z = 3 + \lambda(-5) \end{gathered}$

Nesta etapa chegamos à equação paramétrica da reta "s", que é:

             $s:\Large\begin{cases}x = -1 + \lambda3\\y = -2 + \lambda(-1)\\z = 3 + \lambda(-5) \end{cases}$

Agora poderemos recuperar "P", "A" e o vetor diretor "v" que são:

                  $\Large\begin{cases}P(x, y, z)\\A(-1, -2, 3)\\\vec{v} = (3, -1, -5) \end{cases}$

                 

Uma vez sabendo também que a equação vetorial da reta é dada por:

     $\Large\displaystyle\begin{gathered}P = A + \lambda\vec{v},\:\:\:com\:\lambda\in\mathbb{R},\:\:com\:\vec{v}\neq0 \end{gathered}$

Então, uma possível equação vetorial da reta "s" é:

  $\Large\displaystyle\begin{gathered}s:(x, y, z) = (-1, -2, 3) + \lambda(3, -1, -5) \end{gathered}$

Se:

                       $\Large\displaystyle\begin{gathered}r\parallel s\:\:\:\Longleftrightarrow\:\:\:\vec{u} \parallel \vec{v}\end{gathered}$

Desse modo posso fazer:

                                      $\Large\displaystyle\begin{gathered}\vec{u} = \vec{v} \end{gathered}$

Então a equação vetorial da reta "r" será da forma:

               $\Large\displaystyle\begin{gathered}P = A' + \gamma\vec{u},\:\:\:com\:\gamma\in\mathbb{R}\:\:e\:\:\vec{u}\neq 0 \end{gathered}$

Como estamos querendo encontrar a equação da reta "r" que passa pelo ponto A'(-1, 3, 5) é paralela à reta "s", então:

                 $\Large\displaystyle\begin{gathered}r: X = (-1, 3, 5) + (3, -1, -5)t \end{gathered}$

     

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Solução gráfica: