Question

Obtenha o polinômio de Taylor de ordem 5 da função LaTeX: f(x)=senxf(x)=senx em torno de LaTeX: xObtenha o polinômio de Taylor de ordem 5 da função LaTeX: f(x)=2cosxf(x)=2cosx em torno de LaTeX: x_0=0x0=0._0=0x0=0

Answer 1

Olá!

A série de Taylor é uma expressão que permite calcular o valor de uma função atráves de um somatório de uma função polinomial. Portanto:

$T(x) = \sum _{n=0}^{k}\:\frac{f^n\left(b\right)}{n!}.\left(x-b\right)^n$

Para calcular a série de taylor para o sen(x) em torno de 0, devemos encontrar sua derivada enésima nesse ponto:

$f(x) = senx\\f(0) = 0\\f'(x) = cosx\\f'(0) = 1\\f''(x) = -senx\\f''(0) = 0\\f'''(x) = -cosx\\f'''(0) = -1\\f^4(x) = senx\\f^4(0) = 0$.

Dessa forma, substituimos os valores encontrados no somatório de taylor até que se note um padrão:

$\left(1\right)\frac{\left(x-0\right)^1}{1!}+\left(-1\right)\frac{\left(x-0\right)^3}{3!}+\left(1\right)\frac{\left(x-0\right)^5}{5!}...$

Portanto, a série de taylor para sen(x) é $\sum _{n=0}^{\infty }\left(-1\right)^n\cdot \frac{x^{\left(2n+1\right)}}{\left(2n\:+1\right)!}$

Espero ter ajudado!