Question

A questão em anexo é igual a:]

Answer 1

Uma vez que não é fornecida a expressão da função $f$, suponho que o propósito seja inverter a ordem de integração dos integrais iterados.

Começamos por notar que $x \in[\sqrt{y},2]$, para cada $y\in[0,4]$. Isto significa que a região de integração se situa entre a curva de equação $x = \sqrt{y}$ e a reta $x = 2$, sendo ainda limitada pelas retas $y = 0$ e $y = 4$. Tal corresponde à região assinalada a azul no gráfico em anexo.

Como a curva $x = \sqrt{y}$ pode ser descrita ainda pela equação $y = x^2$, tem-se que $y \in[0, x^2]$, para cada $x\in[0,2]$. Assim, tem-se:

$\displaystyle \int\limits_0^4\left(\int\limits_{\sqrt{y}}^2 f(x,y) \textrm{ d}x \right)\textrm{ d}y = \int\limits_0^2\left(\int\limits_0^{x^2} f(x,y) \textrm{ d}y \right) \textrm{ d}x.$