Respostas
Para f(x) + f(-x) = 0 :
(x³ + bx² + cx + d) + ( (-x)³ + b(-x)² + c(-x) + d ) = 0
(x³ + bx² + cx + d) + ( -x³ + bx² - cx + d ) = 0
2bx² + 2d = 0
d = -bx²
Para p(2) = 6:
(2)³ + b(2)² + c(2) + d = 6 --> substituindo d = -bx²
8 + 4b + 2c + (-bx²) = 6
8 + 4b + 2c + (-4b) = 6
8 + 2c = 6
2c = 6 - 8
c = -1
Agora calculando p(3):
x³ + bx² + cx + d
x³ + bx² + (-1)x + (-bx²)
x³ - x
3³ - 3
27 - 3
24
LETRA B
Vamos lá.
Veja, Vini, que a resolução não é das mais simples. Mas vamos tentar fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.
i) Pede-se para encontra o valor de f(3) tendo por base o polinômio abaixo e sabendo-se que f(2) = 6 e que P(x) + P(-x) = 0 para todo "x" real.
P(x) = x³ + bx² + cx + d
Note que deveremos encontrar os valores de "b", "c" e "d" para, depois, compor qual será o polinômio P(x) para, a partir daí, encontramos o valor de P(3).
ii) Já sabemos que P(2) = 6 . E também já sabemos que P(x) + P(-x) = 0 para QUALQUER "x" REAL. Nesse caso, iremos ter que P(2) + P(-2) será igual a zero,concorda? (veja que "2" e "-2" são números reais. Logo é válida a relação dada de que P(x) + P(-x) = 0, ok?) . Então vamos fazer a partir daí que:
P(2) + P(-2) = 0 ----- como já sabemos que P(2) = 6, então teremos:
6 + P(-2) = 0 ----- substituindo-se no polinômio dado [P(x) = x³+bx²+cx+d] o valor de "x" por "-2", pois estamos querendo o valor de P(-2), teremos:
6 + (-2)³ + b*(-2)² + c*(-2) + d = 0 ----- desenvolvendo, temos:
6 + (-8) + b*4 + (-2c) + d = 0 ---- ou apenas:
6 - 8 + 4b - 2c + d = 0 ---- desenvolvendo, temos:
- 2 + 4b - 2c + d = 0 ---- passando "-2" para o 2º membro, temos:
4b - 2c + d = 2 . (I).
iii) Note que como já vimos que P(x) + P(-x) = 0 para qualquer "x" real, então poderemos também fazer P(3) + P(-3) = 0, pois tanto o "3" como o "-3" são reais. Logo:
P(3) + P(-3) = 0 ------ substituindo-se no polinômio dado o "x" por "3" e por "-3", teremos:
(3)³ + b*(3)² + c*3 + d + (-3)³ + b*(-3)² + c*(-3) + d = 0 ---- desenvolvendo:
27 + b*9 + 3c + d + (-27) + b*9 - 3c + d = 0 ---- continuando:
27 + 9b + 3c + d - 27 + 9b - 3c + d = 0 ---- reduzindo os termos semelhantes:
18b + 2d = 0 ---- para facilitar, vamos dividir ambos os membros por "2", ficando:
9b + d = 0 ----- isolando "d", teremos:
d = - 9b . (II).
iv) Vamos logo na expressão (I) e, nela, já substituiremos "d" por "-9b", conforme vimos na expressão (II) acima. Vamos apenas repetir a expressão (I), que é esta:
4b - 2c + d = 2 ----- substituindo-se "d" por "-9b", teremos:
4b - 2c + (-9b) = 2 ----- desenvolvendo, temos:
4b - 2c - 9b = 2 --- reduzindo os termos semelhantes, temos:
-5b - 2c = 2 ----- para ficar mais "apresentável" vamos multiplicar ambos os membros por "-1", com o que ficaremos assim:
5b + 2c = - 2 . (III).
v) Note que a relação também vai valer para P(4) + P(-4) = 0, pois tanto "4' como "-4" são números reais. Então teremos isto:
P(4) + P(-4) = 0 ----- substituindo-se "x" por "4" e por "-4" no polinômio dado, teremos:
(4)³ + b*(4)² + c*4 + d + (-4)³ + b*(-4)² + c*(-4) + d = 0 ---- desenvolvendo:
64 + 16b + 4c + d - 64 + 16b - 4c + d = 0 --- reduzindo os termos semelhantes:
32b + 2d = 0 ---- para facilitar vamos dividir ambos os membros por "2", ficando:
16b + d = 0 ----- como já vimos que d = - 9b , conforme a expressão (II), então vamos substituir, ficando:
16b + (-9b) = 0 ----- desenvolvendo:
16b - 9b = 0
7b = 0
b = 0/7
b = 0 <--- Este é o valor de "b".
Ora, se b = 0, então vamos na expressão (II), que é esta:
d = - 9b ---- substituindo-se "b" por "0", temos:
d = -9*0
d = 0 <--- Este é o valor de "d".
Finalmente, para encontrar o valor de "c" podremos ir na expressão (I) ou na expressão (III). Vamos na expressão (III) que está mais fácil de trabalhar. A expressão (III) é esta:
5b + 2c = - 2 ---- substituindo-se "b" por "0", teremos:
5*0 + 2c = - 2
0 + 2c = -2 ---- ou apenas:
2c = - 2 ----- isolando "c", teremos;
c = -2/2
c = - 1 <--- Este é o valor de "c".
vi) Por fim, como já temos os valores de "b" = 0, de "c" = -1; e de "d" = 0, vamos no polinômio P(x) e vamos fazer as devidas substituições. Repetindo o polinômio P(x), temos:
P(x) = x³ + bx² + cx + d ----- fazendo as devidas substituições vistas aí em cima, teremos:
P(x) = x³ + 0x² + (-1)x + 0 ------ desenvolvendo, temos:
P(x) = x³ + 0 - x + 0 ----- ou apenas:
P(x) = x³ - x <---- Esta é a representação do polinômio P(x).
Agora, para encontrar o valor de P(3), basta irmos no polinômio P(x) acima e substituirmos o "x" por "3". Assim teremos:
P(3) = 3³ - 3 ----- desenvolvendo, teremos:
P(3) = 27 - 3
P(3) = 24 <---- Esta é a resposta. Opção "b".
É isso aí.
Deu pra entender bem todo o raciocínio utilizado?
OK?
Adjemir.