Question

Dado um triângulo qualquer ABC, prove que o triângulo formado pelos pontos médios dos lados de ABC tem área igual a 1/4 da área de ABC.

Answer 1

Construímos um triângulo qualquer e marcamos seus pontos médios de seus lados, formando um triângulo menor.

Podemos perceber que:

CE/CA = 1/2 = CD/CB

Assim, por semelhança LAL, temos que:

ΔCDE ~ ΔCAB

O mesmo acontecerá com os outros triângulos.

ΔBDF ~ ΔBAC

ΔAEF ~ ΔABC

Logo, o triângulo DEF ~ ABC.

Assim, podemos determinar que os lados do triângulo menor são:

DE = 1/2 de AB

DF = 1/2 de AC

FE = 1/2 de BC

Então, o perímetro do triângulo DEF é metade do perímetro de ABC.

Logo, a razão entre seus perímetros é de 1/2.

p(DEF) / p(ABC) = r

1/2 / 1 = r

r = 1/2

Sabemos que a razão entre as áreas de dois triângulos semelhantes é r². Logo:

r² = (1/2)² = 1/4

Portanto, o triângulo DEF tem 1/4 da área de ABC.