Respostas
h² = (4 + √5)² + (4 - √5)²
h² = (16 + 8√5 + 5) + (16 - 8√5 + 5)
h² = 21 + 8√5 + 21 - 8√5
h² = 42
h = √42
Boa tarde! Segue a resposta com alguma explicação.
Resolução de h² = (4 + √5)² + (4 - √5)²
h² = (4 + √5)² + (4 - √5)² (Note que, no primeiro termo do segundo membro, há um exemplo de produto notável do tipo quadrado da soma de dois termos : (a+b)²=(a+b)(a+b)=a²+2ab+b². Assim, aplica-se este raciocínio no problema.)
h² = (4 + √5)(4 + √5) + (4 - √5)² (Aplica-se a propriedade distributiva.)
h² = 4.4 + 4√5 + 4√5 + (√5)² + (4 - √5)² =>
h² = 16 + 8√5 + 5 + (4 - √5)² (Note que há no segundo membro um exemplo ((4 - √5)²) de produto notável do tipo quadrado da diferença de dois termos : (a-b)²=(a-b)(a-b)=a²-2ab+b². Assim, aplica-se este raciocínio no problema.)
h² = 16 + 8√5 + 5 + (4 - √5)(4 - √5) (Aplica-se a propriedade distributiva.)
h² = 16 + 8√5 + 5 + 4.4 - 4√5 - 4√5 + (√5)² =>
h² = 16 + 8√5 + 5 + 16 - 8√5 + 5 (Simplificação: note que + 8√5 e - 8√5 se anulam.)
h² = 16 + 5 + 16 + 5 =>
h² = 21 + 16 + 5 =>
h² = 37 + 5 =>
h² = 42 =>
h = √42 (Não será um resultado exato. Fatorando 42, tem-se 2.3.7.)
-Para resolver √42 sem o auxílio da calculadora o método a ser utilizado é o das tentativas:
-Sabe-se que √2 é aproximadamente 1,41, porque (1,41).(1,41)=1,9881 ≅ 2;
-Sabe-se que √3 é aproximadamente 1,73, porque (1,73).(1,73)=2,9929 ≅ 3;
-Aplica-se o método da tentativa para se descobrir o valor de √7:
√7 será um número entre 2 e 3, porque:
2.2 = 4 (menor que 7)
3.3 = 9 (maior que 7)
Prosseguindo, tem-se:
2,9 . 2,9 = 8,41 (Logo, √7 estará situada entre 2 e 2,9.)
2,8 . 2,8 = 7,84 (Logo, √7 estará situada entre 2 e 2,8.)
2,6 . 2,6 = 6,76 (Resultado menor que 7, portanto, √7 estará entre 2,6 e 2,8.)
2,65 . 2,65 = 7,0225 (Resultado praticamente igual a 7. Assim, √7 será aproximadamente 2,65.)
-Obtidos os valores aproximados de √2, √3 e √7, basta realizar uma multiplicação entre eles para se obter o valor de h:
h = √2.3.7 = √2√3√7 = 1,41 . 1,73 . 2,65 (Note que estes decimais podem ser escritos como frações do tipo 141/100, 173/100 e 265/100, respectivamente.)
h = 1,41 . 1,73 . 2,65 = 141/100 . 173/100 . 265/100 = 6464145/1000000 =>
h = 6,464145 ≅ 6,46 (Explicação: o algarismo que ocupa a terceira casa decimal é 4, menor que 5, razão pela qual podem ser desconsiderados os demais e manter o algarismo da segunda casa em 6.)
Resposta: O valor de h é √42 ou aproximadamente 6,46.
DEMONSTRAÇÃO (VERIFICAÇÃO) DE QUE A RESPOSTA ESTÁ CORRETA
Observação: Na verificação, não se pode usar a resposta 6,46, por ser um número aproximado. Caso fosse realizado o procedimento com esse valor, os resultados nos dois lados da equação seriam ligeiramente diferentes.
-Substituindo h = √42 na equação acima, verifica-se que os resultados nos dois lados serão iguais, confirmando que o valor obtido está correto:
h² = (4 + √5)² + (4 - √5)² =>
(√42)² = (4 + √5)(4 + √5) + (4 - √5)² (Aplica-se a propriedade distributiva.)
42 = 4.4 + 4√5 + 4√5 + (√5)² + (4 - √5)² =>
42 = 16 + 8√5 + 5 + (4 - √5)² (Note que há no segundo membro um exemplo ((4 - √5)²) de produto notável do tipo quadrado da diferença de dois termos : (a-b)²=(a-b)(a-b)=a²-2ab+b². Assim, aplica-se este raciocínio no problema.)
42 = 16 + 8√5 + 5 + (4 - √5)(4 - √5) (Aplica-se a propriedade distributiva.)
42 = 16 + 8√5 + 5 + 4.4 - 4√5 - 4√5 + (√5)² =>
42 = 16 + 8√5 + 5 + 16 - 8√5 + 5 (Simplificação: note que + 8√5 e - 8√5 se anulam.)
42 = 16 + 5 + 16 + 5 =>
42 = 21 + 16 + 5 =>
42 = 37 + 5 =>
42 = 42
Espero haver lhe ajudado e bons estudos!