Question

Calcule o seguinte limite, usando os limites fundamentais:
limx→0
sin x/x = 1

limx→0
1 − cosx / x = 0

Sem usar L'Hopital

a) limx→0
tan 3x / sin 4x

Answer 1

Recordando que  

$\displaystyle\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha},$

tem-se

$\displaystyle \frac{\tan(3x)}{\sin(4x)} = \frac{\sin(3x)}{\cos(3x)}\times\frac{1}{\sin(4x)}.$

Dividindo e multiplicando por $\dfrac{4}{3}$, vem:

$\displaystyle\frac{\sin(3x)}{\cos(3x)}\times\frac{1}{\sin(4x)} = \frac{3}{4}\times \frac{1}{\cos(3x)}\times\frac{\sin(3x)}{3x} \times \frac{4x}{\sin(4x)}.$

Deste modo, tomando-se o limite, vem:

$\displaystyle \lim_{x\to 0}\left[\frac{3}{4}\times \frac{1}{\cos(3x)}\times\frac{\sin(3x)}{3x} \times \frac{4x}{\sin(4x)}\right] =$

$\displaystyle = \frac{3}{4}\times\underbrace{\lim_{x\to 0}\frac{1}{\cos(3x)}}_{=1}\times\underbrace{\lim_{x\to 0}\frac{\sin(3x)}{3x}}_{=1} \times\underbrace{\lim_{x\to 0}\frac{4x}{\sin(4x)}}_{=1} = \frac{3}{4}.$

Resposta: $\displaystyle \lim_{x\to 0} \frac{\tan(3x)}{\sin(4x)} = \frac{3}{4}.$  

Uma forma mais simples de chegar ao resultado é recordar que para valores suficientemente pequenos de $\alpha$, são válidas as aproximações $\sin\alpha \sim \alpha$ e $\tan\alpha \sim \alpha$, das séries de Taylor. Assim, vem:

$\displaystyle \frac{\tan(3x)}{\sin(4x)} \sim \frac{3x}{4x} = \frac{3}{4},$

como obtido antes.