Respostas
Vamos lá.
Veja, Matheus, que a resolução parece simples. Vamos tentar fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.
i) Tem-se a seguinte expressão logarítmica, na base 10 (pois quando a base é omitida subentende-se que ela seja 10):
log₁₀ (x-3) + log₁₀ (x-2) = 1
ii) Antes de iniciar, vamos logo para as condições de existência da expressão logarítmica da sua questão. Como só há logaritmos de números positivos (>0), então teremos que impor que cada logaritmando seja positivo (>). Assim, deveremos ter que:
x-3 > 0
x > 3 ----- Esta é uma condição de existência.
e
x-2 > 0
x > 2 ---- Esta é outra condição de existência.
Agora veja: entre "x" ser maior do que "3" e ser maior do que "2", então vai prevalecer a primeira hipótese, pois sendo "x" > 3 já o será maior do que "2". Logo, a condição de existência que vai prevalecer será a de:
x > 3 ---- Esta é a condição de existência que vai prevalecer na resolução da sua questão, ok?
iii) Agora vamos trabalhar com a expressão dada, que é esta:
log₁₀ (x-3) + log₁₀ (x-2) = 1 ----- note que poderemos transformar esta soma em produto (é uma propriedade logarítmica), ficando assim:
log₁₀ (x-3)*(x-2) = 1 ----- veja que, se aplicarmos a definição de logaritmo, o que temos aqui é a mesma coisa que:
10¹ = (x-3)*(x-2) ----- desenvolvendo, teremos:
10 = x² - 5x + 6 ----- ou, o que dá no mesmo:
x² - 5x + 6 = 10 ---- passando "10" para o 1º membro, teremos:
x² - 5x + 6 - 10 = 0 ----- desenvolvendo, temos:
x² - 5x - 4 = 0 ------ agora note que: se você aplicar Bháskara vai encontrar as seguintes raízes:
x' = [5 - √(41)]/2 ---> o que dá, aproximadamente: - 0,715.
e
x'' = [5 + √(41)]/2 ---> o que dá, aproximadamente: 5,701
Assim, só vai valer aquela raiz que obedeceu à condição de existência vista antes (x > 3). Logo, só será válida a seguinte raiz:
x = [5 + √(41)]/2 <--- Esta é a resposta. Ou seja, este é o valor de "x" que faz com que exista a expressão logarítmica da sua questão.
É isso aí.
Deu pra entender bem?
OK?
Adjemir.
Esclareceu bastante coisa!