Question

Considere os números complexos z1 = 1 - i ; z2 = k + i , com k um número real positivo e z3=z2/z1. Sabendo que | z3 |= √13
é correto afirmar:

a) | z1 + z2 | = 6
b) k = 6
c) z3.z1 = 4 + i
d) | z2 | = 5
e) z3/z1 = 2 + 3i

Qual a resolução desta questão?

Answer 1

Primeiramente, vamos definir o número complexo z₃.

Como z₃ = z₂/z₁ e z₁ = 1 - i e z₂ = k + i, temos que:

$z_3=\frac{k+i}{1-i}$

Multiplicando pelo conjugado:

$z_3=\frac{k+i}{1-i}.\frac{1+i}{1+i}$

$z_3=\frac{k+ki+i+i^2}{1-i^2}$

$z_3=\frac{k+ki+i-1}{2}$, pois i² = -1.

$z_3=\frac{k-1}{2}+i\frac{k+1}{2}$.

Agora, vamos calcular o módulo do número complexo z₃:

$|z_3| = \sqrt{(\frac{k-1}{2})^2+(\frac{k+1}{2})^2}$

$|z_3| = \sqrt{\frac{k^2-2k+1+k^2+2k+1}{4}}$

$|z_3|=\sqrt{\frac{2k^2+2}{4}}$

Como |z₃| = √13, então:

$\sqrt{13}=\sqrt{\frac{2k^2+2}{4}}$

$13=\frac{2k^2+2}{4}$

52 = 2k² + 2

2k² = 50

k² = 25

k = 5, pois k é um número real positivo.

Assim, temos que: z₂ = 5 + i e z₃ = 2 + 3i.

Perceba que a alternativa correta é a letra a), pois:

z₁ + z₂ = 1 - i + 5 + i = 6.

Logo,

|z₁ + z₂| = √6² = 6.