Question

1) (Valor 0,3) Avalie as integrais apresentadas aplicando a técnica de integração por substituição. a) b) c) 2) (Valor 0,2) Aplique a integral por partes para determinar a primitiva da seguinte função:

Answer 1

1) a) $\int\ {(x^3+10)^5.4x^2} \, dx$.

Utilizando o método da substituição simples, temos que:

u = x³ + 10

du = 3x²dx ∴ $\frac{du}{3}=x^2dx$.

Portanto,

$\int {(x^3+10)^5.4x^2} \, dx = \frac{4}{3} \int u^5 dx = \frac{4}{3}.\frac{u^6}{6} + c=\frac{4(x^3+10)^6}{18}+c=\frac{2(x^3+10)^6}{9} + c$.

b) $\int \frac{x^2}{\sqrt{x^3+5}}dx$

Pelo método da substituição simples, temos que:

u = x³ + 5

du = 3x²dx ∴ $\frac{du}{3}=x^2dx$.

Assim,

$\int \frac{x^2}{\sqrt{x^3+5}}dx = \frac{1}{3} \int \frac{du}{\sqrt{u}} = \frac{2\sqrt{u}}{3} + c = \frac{2\sqrt{x^3+5}}{3}+c$.

c) $\int 2x.e^{x^2+5}dx$

Pelo método da substituição simples:

u = x² + 5

du = 2xdx.

Logo,

$\int 2x.e^{x^2+5}dx = \int e^u du = e^u + c = e^{2x + 5} + c$.

2) $\int x.e^{3x}dx$

Para essa integral utilizaremos a integração por partes:

u = x

du = dx

dv = $e^{3x}dx$

v = $\frac{e^{3x}}{3}$.

A integral por partes é definida por:

∫u.dv = u.v - ∫v.du

Logo,

$\int x.e^{3x}dx = x.\frac{e^{3x}}{3} - \int \frac{e^{3x}}{3}dx$

$\int x.e^{3x}dx = \frac{x.e^{3x}}{3} - \frac{e^{3x}}{9}+c$.