Question

A bissetriz do ângulo interno A do retângulo ABCD intercepta o lado CD no ponto E. Se a medida do lado AB, do retângulo, é 6m e se a medida da área do triângulo ADE é 1/5 da medida da área do trapézio ABCE, então, a medida do lado BC do retângulo, em metros, é

A)2,0
B)2,5
C)3,0
D)3,5
E)4,0

Answer 1

Pra este tipo de problema é essencial fazer o desenho. Veja o anexo.

Area de triangulo = (Base x Altura) / 2

Area de trapezio = (Base maior + Base menor) x Altura / 2

Note que no triangulo ADE, temos:

-> Base = DE --> vamos chamar de B para facilitar

-> Altura = AD --> vamos chamar de h para facilitar

No trapezio ABCE, temos:

-> Base maior = AB = 6

-> Base menor  =  EC   =   (6 - DE)  =  (6 - B)

-> Altura = AD  =  h

É dito que "área do triângulo ADE é 1/5 da medida da área do trapézio ABCE", log:

Area ADE = (1/5) . ABCE

Substituindo os valores nas formulas das areas:

$\frac{B\;.\;h}{2}=\frac{1}{5}.\frac{(6+(6-B)).h}{2}\\\\B\;.\;h=\frac{(6+(6-B)).h}{5}\\\\B=\frac{(6+(6-B))}{5}\\\\5\;.\;B=6+6-B\\\\5B+B=12\\\\6B = 12\\\\B=2\;m$

Com B descoberto podemos achar BC (a altura h) utilizando uma relação trigonometrica. Note que o triangulo ADE é retangulo, sabemos um dos seus catetos (DE) e um dos angulo, 45° (bissetriz do angulo de 90°), logo:

$tg(\alpha)=\frac{cateto\;oposto}{cateto\;adjacente}\\ \\tg(45^\circ)=\frac{B}{h}\\\\1=\frac{2}{h}\\\\h=2\;m$