Question

Completar quadrado de expressões algebricas

Answer 1

Ax² + Bx + C - fator   =  (ax + b)² - fator

--> A = a²

--> B = 2.a.b

-> C - fator = b²

Na questão:

A = 1

B = 1/2

C - fator = 1/4   --> fator = -(1/4)² = -1/16

1/2 = 2.1.b --> b = 1/4

(x + 1/4)² - 1/16

Answer 2

✅ Após realizar todos os cálculos, concluímos que a referida expressão algébrica com seu quadrado completado é:

   $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf \bigg(x + \frac{1}{4}\bigg)^{2} - \frac{1}{16}\:\:\:}}\end{gathered} }$

A técnica de completar quadrados é muito importante quando desejamos reescrever uma expressão algébrica do segundo grau para a forma:

             $\Large\displaystyle\begin{gathered} (x - x')^{2} + k\end{gathered}$

Onde:

 $\Large\begin{cases} x' = Raiz\:de\:multiplicidade\:2\\k = Constante\:pertencente\:aos\:\mathbb{R}\end{cases}$

Seja a expressão algébrica do segundo grau:

                   $\Large\displaystyle\begin{gathered} x^{2} + \frac{1}{2}x\end{gathered}$

Para começarmos o processo de completar o quadrado, devemos converter esta expressão para equação, ou seja:

                 $\Large\displaystyle\begin{gathered} x^{2} + \frac{1}{2}x = 0\end{gathered}$

Agora devemos adicionar a ambos os membros da equação o quadrado da metade do coeficiente do termo de "x", ou seja:

           $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} x^{2} + \frac{1}{2}x +\Bigg(\frac{\frac{1}{2}}{2}\Bigg)^{2} = \Bigg(\frac{\frac{1}{2}}{2}\Bigg)^{2}\end{gathered} }$

Resolver as operações e simplificar os cálculos:

  $\Large\displaystyle\begin{gathered} x^{2} + \frac{1}{2}x + \bigg(\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}\bigg)^{2} = \bigg(\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}\bigg)^{2}\end{gathered}$

         $\Large\displaystyle\begin{gathered} x^{2} + \frac{1}{2}x + \bigg(\frac{1}{4}\bigg)^{2} = \bigg(\frac{1}{4}\bigg)^{2}\end{gathered}$

                 $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}x^{2} + \frac{1}{2}x + \frac{1^{2}}{4^{2}} = \frac{1^{2}}{4^{2}} \end{gathered} }$

                 $\Large\displaystyle\begin{gathered} x^{2} + \frac{1}{2}x + \frac{1}{16} = \frac{1}{16}\end{gathered}$

Chegando neste ponto devemos escrever de forma fatorada o primeiro membro da equação. Desta forma, temos:

                    $\Large\displaystyle\begin{gathered} \bigg(x + \frac{1}{4}\bigg)^{2} = \frac{1}{16}\end{gathered}$

Agoara devemos passar tudo para o primeiro membro:

          $\Large\displaystyle\begin{gathered} \bigg(x + \frac{1}{4}\bigg)^{2} - \frac{1}{16} = 0\end{gathered}$

✅ Portanto, após reconverter a equação para expressão algébrica, temos:

                $\Large\displaystyle\begin{gathered} \bigg(x + \frac{1}{4}\bigg)^{2} - \frac{1}{16} \end{gathered}$

             

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