Question

Uma criança está brincando em um balanço no parque, ao meio dia, com o sol a pino. A posição de sua sombra,
projetada no chão, executa um movimento harmônico simples e é descrita pela função tx )( = a cos( bt + d ) , onde x
é dado em metros e t em segundos, a = 1,2 m, b = 0,8π rad/s e d = π/4.

Valores do período, velocidade e aceleração máxima

Answer 1

Olá.

Esta é a função da sombra da criança descrita no problema:

$t(x)=1,2cos(0,8\pi t+\frac{\pi}{4})$

Na fórmula de um MHS, o termo que acompanha a variável independente (neste caso o ''t'') é referente ao valor da frequência angular do movimento.

Sabemos que a freqüência angular é dada por:

$w=\frac{2\pi}{T}$

Isolando o período e substituindo os dado teremos:

$T=\frac{2\pi}{w}\\ \\ T=\frac{2\pi}{0,8\pi} \\ \\ T=\frac{2}{0,8}=2,5segundos$

Integrando está equação da velocidade do MHS, encontraremos a equação da aceleração. Igualando essa equação a 0(ponto onde aceleração=0), teremos o valor de ''t'' onde a velocidade é máxima, vejamos:

Equação MHS da Aceleração: $-w^{2}.A.cos(wt+\alpha )$

Substituindo os dados e igualando a 0:

$0=-(0,8\pi)^{2}.1,2.cos(0,8\pi.t+\frac{\pi}{4})\\ \\ 0,8\pi.t+\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{2}\\ \\ t=0,3125$

O único jeito de zerar essa equação, é forçar o argumento do cos ser pi/2 ou -pi/2, pois nestes pontos o cos vale 0.

Equação MHS da Velocidade: $-w.A.sen(wt+\alpha)$

$V_m_a_x(t)=-0,8\pi.1,2.sen(0,8\pi(0,3125)+\frac{\pi}{4})\\ \\ V_m_a_x(t)=3,016m/s$

Para conhecer a aceleração máxima, faremos um processo semelhante. Pegaremos a derivada da função aceleração e igualaremos a 0. Tendo posso do valor de ''t'' substituiremos na equação da aceleração e acharemos a resposta.

$A(t)=-w^{2}.A.cos(wt+\alpha )\\\\A'(t)=w^{3}.A.sen(wt+\alpha)\\\\0=(0,8\pi)^{3}.0,2.sen(0,8\pi.t+\frac{\pi}{4} )\\ \\ 0,8\pi.t+\frac{\pi}{4} =0\\ \\ t=-0,3125$

Substituindo na equação da aceleração teremos:

$A_m_a_x=-(0,8\pi)^{2}.1,2.cos(0,8\pi.(-0,3125)+\frac{\pi}{4})\\\\A_m_a_x=7,58m/s^{2}$

Espero ter ajudado.

Answer 2

Resposta:

Sobre integração, porque integrar a equação pra achar a aceleração se geralmente pra achar aceleração , a gente deriva? Não entendi, se puder explicar

Explicação: