A função demandada para cachaça artesanal é uma função do preço dada pela expressão:
p= 85 - 0,004x
Sendo p o preço em R$ e x a quantidade em litros comercializada. Os custos de fabricação por trimestre de cada litro de cachaça artesanal são dados por:
C(x)=1250 + 50x -0,003x^2
Sabendo que a receita R(x) = px e que o lucro é definido por L(x) = R(x) – C(x), analise as afirmações apresentadas.
I. A quantidade de cachaça que deve ser produzida e vendida para que se tenha lucro máximo é de 17.500 litros.
II. A quantidade que maximiza o lucro leva a um preço praticado de mercado de R$15,00 por litro de cachaça.
III. O lucro máximo obtido no trimestre, considerando a quantidade de cachaça que otimiza o lucro será de R$175.300,00.
É correto o que se afirma em: Alternativas
Alternativa 1: III, apenas.
Alternativa 2: I e II, apenas.
Alternativa 3: I e III, apenas.
Alternativa 4: II e III, apenas.
Alternativa 5: I, II e III.
Respostas
Olá!
Temos que a função demanda é dada por p = 85 - 0,004x. Logo, a função Receita será:
R(x) = px = (85 - 0,004x)x = 85x - 0,004x²
Como o lucro é definido por L(x) = R(x) – C(x), teremos que ele será dado por:
L(x) = 85x - 0,004x² - 1250 - 50x + 0,003x²
L(x) = -0,001x² + 35x - 1250
Agora, vamos analisar as afirmações:
I. CORRETA: Para descobrirmos o lucro máximo, basta derivarmos a função e igualarmos a zero:
L'(x) = -0,002x + 35 = 0
x = 35 ÷ 0,002 = 17.500 L
Logo, o Lucro será máximo quando forem vendidos 17.500 L de cachaça.
II. CORRETA: Temos que a quantidade que maximiza o lucro é 17.500 L, logo, usando a função demanda, teremos que o preço nesse caso deve ser de:
p = 85 - 0,004.(17.500) = 85 - 70 = 15
Logo, o preço por litro deve ser de R$ 15,00.
III. INCORRETA: Considerando x = 17.500 L, teremos que o Lucro máximo obtido será de:
L(17.500) = -0,001.(17.500)² + 35.(17.500) - 1250
L(17.500) = R$ 305.000,00
Logo, a alternativa correta é a 2.
Espero ter ajudado!