Question

Uma indústria alimentícia embala produtos com um volume de 1000cm3 em embalagens cilíndricas. O departamento de inovação de produtos está analisando as melhores dimensões para construir a embalagem sendo utilizado como material o alumínio. Estime a altura da embalagem cilíndrica e seu raio, para que esta apresente a menor área superficial. Se o custo da embalagem for de R$48,50/m2, estime o custo por embalagem considerando que ela terá fundo e tampa fechadas do mesmo material. Anexe os cálculos realizados.

Answer 1

Olá!

Temos que o volume do cilindro é dado por:

$V = \pi r^{2}.h = 1000$

$h = \frac{1000}{\pi r^{2}}$            (Equação 01)

E a área total da embalagem cilíndrica é dada pela área da base e tampa mais a área do corpo:

$A = 2 \pi r^{2} + 2 \pi r.h$

Agora substituindo a Equação 01, teremos:

$A = 2 \pi r^{2} + 2 \pi r. \frac{1000}{\pi r^{2}}$

$A = 2 \pi r^{2} + \frac{2000}{r}$

Para encontrarmos o minimo da função Área, devemos derivar a função e iguala-la a zero:

$A' = 4 \pi r + \frac{2000}{r^{2}} = 0$

$r^{3} = \frac{2000}{4 \pi}$     (Usando π = 3,14)

$r = \sqrt[3]{159,24}$ = 5,42 cm.

Assim, a área será minima quando r = 5,42 cm. Logo, substituindo na função Área, teremos:

$A = 2 \pi (5,42)^{2} + \frac{2000}{5,42}$ = 553,50 cm²

Como 1 m² = 10000 cm², teremos que 553,50 cm² = 0,0553 m². Logo, o preço da embalagem será de:

0,0553 x 48,50 = R$ 2,68.

Espero ter ajudado!