Question

Taxas relacionadas!

Um avião está voando com velocidade constante a uma altitude de 3 km sobre uma linha reta que irá passar diretamente acima de um observador no chão. Num dado instante, o observador nota que o ângulo de elevação do avião é de 1/3 π rad e está aumentando a uma taxa de 1/60 rad/s. Ache a velocidade do avião.


Leithold volume I, cap. 3.9, questão 41.

Agradecido.

Answer 1

Pelos dados do enunciado, elaborei a seguinte figura que segue em anexo.

O ângulo varia de acordo com o tempo. Então, num determinado instante t₀, temos:

α(t₀) = 1/3π rad

Nesse mesmo instante, a velocidade desse ângulo é de:

α'(t₀) = 1/60 rad/s

A altura do avião é constante.

h = 3 km ou 3000 m

Represento a distância horizontal percorrida pelo avião por x. Esse valor também varia de acordo com o tempo. Logo, temos: x(t).

Assim, a derivada dessa função é justamente a velocidade do avião. Logo:

V(t₀) = x'(t₀)

Na figura, perceba que temos um triângulo retângulo. Usando a relação tangente, temos:

tg(α(t₀)) = x(t)/h

Mas como temos que achar a derivada, derivamos a equação.

d/dt tg(α(t)) = d/dt x(t)/h

A derivada da tangente é a secante ao quadrado. Logo:

sec²(α(t)) · α'(t) = x'(t)/h

Queremos descobrir o x' para t₀. Então, temos:

sec²(α(t₀)) · α'(t₀) = x'(t₀)/h

x'(t₀) = sec²(α(t₀)) · α'(t₀) · h

Substituindo os valores informados, temos:

x'(t₀) = sec²(1/3π) · 1/60 · 3000

x'(t₀) = 4 · 1/60 · 3000

x'(t₀) = 4 · 50

x'(t₀) = 200 m/s

Portanto, a velocidade do avião é de 200 m/s.