Question

Uma das turbinas mais utilizada na Itaipu possui uma vazão de 690 m³/s e queda livre de 118,4 metros. De acordo com as informações anteriormente apresentadas sobre as Turbinas Francis, Kaplan e Pelton, qual seria o modelo ideal para esta utilização e porquê? Sabemos que vazão é o volume de determinado fluido que passa por uma determinada seção de um conduto livre ou forçado, por uma unidade de tempo. A vazão pode ser representada com Q= dv/dt, onde: Q = Vazão (m³/s) dv = diferencial de volume dado em um ponto dt = diferencial de tempo em um dado ponto O volume de uma determinada turbina da Itaipu Binacional é dada pela seguinte fórmula: v= 825.sen(t)+t^4 / 2t^3 Assim, qual será a vazão desta turbina no t = 1s? OBS: Utilizar a calculadora em degrees. Para analisar o comportamento de uma função, podemos investigar os pontos máximos e mínimos e para isso precisamos primeiro descobrir os pontos críticos da função. É um ponto crítico quando a derivada primeira da função em um ponto x é igual a “zero”. • f’ (x) = 0 Se pegarmos os valores dos pontos críticos, que foram descobertos no teste da derivada primeira e substituirmos na função da derivada segunda, é realizada a identificação do ponto máximo ou mínimo local. No teste da segunda derivada: • Se f’’ (x) > 0, então x é um ponto mínimo. • Se f’’ (x) < 0, então x é um ponto máximo.

Answer 1

Para calcular a vazão, deve-se derivar a expressão do volume da turbina. Como ela é composta por uma fração, deve-se usar a regra do quociente, dada por:

d(f(x)/g(x))/dx = (f(x)g'(x) - f'(x)g(x))/g(x)²

Como temos que f(x) = 825sen(t) + t^4 e g(x) = 2t³, calculando suas derivadas:

f'(x) = 825cos(t) + 4t³

g'(t) = 6t²

Substituindo os valores na expressão:

dv/dt = [(825sen(t)+t^4).6t² - (825cos(t)+4t³).2t³]/(2t³)²

dv/dt = [(825sen(t)+t^4).6t² - (825cos(t)+4t³).2t³]/2t^6

A vazão no instante t = 1 s é dada substituindo t = 1 na expressão:

dv/dt = [(825sen(1)+1^4).6.1² - (825cos(1)+4.1³).2.1³]/2.1^6

dv/dt = [(14,4+1).6 - (825+4).2]/2

dv/dt = 92,4 - 1658/2

dv/dt = -782,8 m³/s