Question

Sabe-se que sec x = -2 e que 180°< x < 270°. Determine:
Cos x
Sen x
Tg x
Cotg x

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Thamires, que a resolução parece mais ou menos simples. Vamos tentar fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.

i) Sabendo-se que sec(x) = - 2 e que o arco "x" está no intervalo abaixo:

180º < x < 270º (ou seja, no 3º quadrante), pede-se para determinar:

a) cos(x) ----- note que sec(x) = 1/cos(x). Então se temos que sec(x) = -2, então teremos:

1/cos(x) = - 2 ---- multiplicando-se em cruz, teremos;

1 = -2*(cos(x) ---- ou apenas:

1 = -2cos(x) ---- vamos apenas inverter, ficando:

-2cos(x) = 1 ---- multiplicando-se ambos os membros por "-1", teremos:

2cos(x) = - 1 ---- isolando cos(x), teremos:

cos(x) = -1/2 <---- Este é o valor pedido do cos(x) .

b) sen(x) ---- veja que sen(x), no 3º quadrante é negativo. E vamos encontrar o sen(x) pela primeira relação fundamental da trigonometria, segundo a qual temos:

sen²(x) + cos²(x) = 1 ----- substituindo-se cos(x) por "-1/2", teremos:

sen²(x) + (-1/2)² = 1 ------ desenvolvendo, teremos:

sen²(x) + 1/4 = 1 ----- passando "1/4" para o 2º membro, temos:

sen²(x) = 1 - 1/4 ----- note que "1 - 1/4 = 3/4". Assim, ficaremos com:

sen²(x) = 3/4 ----- isolando sen(x), teremos:

sen(x) = ± √(3/4) ---- note que isto é equivalente a:

sen(x) = ± √(3)/√(4) ----- como √(4) = 2, teremos:

sen(x) = ± √(3)/2 ----- como no 3º quadrante o seno é negativo, então tomaremos apenas a raiz negativa e igual a:

sen(x) = - √(3)/2 <---- Este é o valor pedido de sen(x).

c) tan(x) ----- veja que tan(x) = sen(x)/cos(x). Assim, teremos, ao substituirmos os valores de sen(x) e de cos(x) já encontrados antes:

tan(x) = [-√(3)/2]/(-1/2) ---- como, na divisão, menos com menos dá mais, então poderemos reescrever assim:

tan(x) = [√(3)/2]/(1/2) ---- note: divisão de fração. Regra: conserva-se a primeira fração como está e multiplica-se pelo inverso da segunda. Logo:

tan(x) = [√(3)/2]*(2/1) ----- efetuando este produto, temos:

tan(x) = 2√(3)/2 ---- simplificando-se numerador e denominador por "2", ficaremos apenas com:

tan(x) = √(3) <---- Este é o valor pedido de tan(x).

d) cotg(x) ----- veja que cotg(x) = 1/tan(x). Então teremos que:

cotg(x) = 1/√(3) ----- para racionalizar, multiplicaremos numerador e denominador por √(3). Então, fazendo isso, teremos:

cotg(x) = 1*√(3) / √(3)*√(3) ----- desenvolvendo, teremos:

cotg(x) = √(3) / √(3*3) ---- continuando o desenvolvimento, temos:

cotg(x) = √(3) / √(9) ---- como √(9) = 3, teremos:

cotg(x) = √(3)/3 <--- Este é o valor pedido de cotg(x).

ii) Assim, resumindo, temos que:

cos(x) = -1/2; sen(x) = -√(3)/2; tan(x) = √(3); cotg(x) = √(3)/3 <---- Esta é a resposta para o que está pedindo a sua questão.

É isso aí.

Deu pra entender bem?

OK?

Adjemir.