Question

Determine onde o gráfico é côncavo para cima e para baixo, faca o esboço do gráfico e determine o ponto de inflexão.
a) F(x) = x^3 - 6 x^2 + 20
b) F(x) = x^4 - 6x^3

Answer 1

Resposta:

a)

f(x) = x^3 - 6 x^2 + 20

f'(x)=3x²-12x=0

3x*(x-4)=0

x=0  ou x-4=0

x=0  ou x=4

f''(x)=6x-12

Para x=0 ==> f''(0)=6*0-12 =-12 <0 ponto de máximo

Para x=4 ==> f''(0)=6*4-12 = 12 > 0 ponto de mínimo

ponto de máximo côncavo para baixo  

f(0)=0-0+20 ==>(0,20)

ponto de mínimo côncavo para cima

f(4)=4³-6*4²+20=-12 ==>(4,-12)

b)

F(x)=x^4-6x³

f'(x)=4x³-18x²=0

4x²(x-4,5)=0 ==> x=0   e x=9/2

f''(x)=12x²-36x

f''(0)=0 .............candidato a ponto de inflexão

f'''(x)=24x-36  ==>f'''(0) =24*0-36 =36 ≠ 0 é um ponto de inflexão

y=x^4-6x³  ==>y=0^4-6*0³=0 ==> ponto (0,0) é um ponto de inflexão

f''(9/2)=12 *(9/2)²-36*9/2  =243 -162 > 0 ...ponto de mínimo

F(x)=x^4-6x³

F(4,5)=4,5^4-6*4,5³ =410,0625 - 546,75 = -136,6875

Ponto mínimo= (4,5 ; -136,6875)