Question

Qual o termo central do desenvolvimento do binômio ( 2 . √x + 1/√y )⁴ • ( 2 . √x - 1/√y )⁴ ?

a) 96x²y-²
b) 48x²y-⁴
c) 72x²y-²
d) 60x²y-²
e) 90x²y-⁴

Com explicação

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Paollo, que esta não tem resolução das mais simples. Mas vamos tentar fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.

i) Pede-se o termo central do desenvolvimento da seguinte expressão, que vamos chamar de um certo "k" apenas para deixá-la igualada a alguma coisa:

k = [2√(x) + 1/√(y)]⁴ * [2√(x) - 1/√(y)]⁴

Antes de iniciar, veja que se tivermos este desenvolvimento:

k = (a+b)⁴ * (a-b)⁴ ----- isso é equivalente a:

k = (a²-b²)⁴     . (I).

ii) Assim, tendo a relação (I) acima como parâmetro, então a nossa expressão "k" será equivalente a:

k = [(2√(x))² - (1/√(y))²]⁴.

Agora note que o desenvolvimento de binômios dessa forma são dados por: Combinação que começa de "4" tomado "0 a 0" até Combinação de "4" tomado "4 a 4". Ou seja, a forma de desenvolver é esta:

C₍₄ͺ₀₎*(2√x)²)⁴*(1/√y)²)⁰ + C₍₄ͺ₁)*(2√x)²)³*(1/√y)²)¹ + C₍₄ͺ₂)*(2√x)²)²*(1/√y)²)² + C₍₄,₃)*(2√x)²)¹*(1/√y)²)³ + C₍₄ͺ₄)*(2√x)²)⁰*(1/√y)²)⁴.

Note que no desenvolvimento acima o termo que fica bem no meio (termo central) é 3º termo (que está em negrito para que fique bem claro qual é o termo que vamos usar), pois antes deles há dois termos e após ele também há dois termos. Logo, o termo que queremos vai ser o termo do meio que será este:

C₍₄ͺ₂)*((2√x)²)²*(1/√y)²)² = [4!/(4-2)!2!]*(2√x)²)²*(1/√y)²) ---- continuando o desenvolvimento, temos:

C₍₄ͺ₂)*(2√x)²)²*(1/√y)²)² = [4*3*2*1/(2!2!)]*(4x)²*(1/y)²) ---- continuando, temos:

C₍₄ͺ₂)*(2√x²)²*(1/√y)² = [24/2*1*2*1]*[16x²/y²] ---- continuando, temos:

C₍₄ͺ₂)*(2√x)²)²*(1/√y)²)² = [24/2*2]*[16x²/y²] ----- continuando, temos:

C₍₄ͺ₂)*(2√x)²)²*(1/√y)²)² = [24/4]*[16x²/y²] ----- continuando, temos:

C₍₄ͺ₂)*(2√x)²)²*(1/√y)²)² = 6*16x²/y² ----- continuando, temos:

C₍₄ͺ₂)*(2√x)²)²*(1/√y)²)² = 96x²/y² ---- agora note que isto é a mesma coisa que:

C₍₄ͺ₂)*(2√x)²)²*(1/√y)²)² = 96x²*1/y² ----- e note que 1/y² = y⁻². Assim, substituindo-se, teremos:

C₍₄ͺ₂)*(2√x)²)²*(1/√y)²)² = 96x²y⁻² <---- Esta é a resposta. Opção "a". Ou seja, este é o termo central no desenvolvimento do binômio da sua questão.

É isso aí.

Deu pra entender bem?

Ok?

Adjemir.