Question

a área da parte superior de uma elipse descrita pela equação x² + y²/4 = 1, com -1 ≤ x ≤ 1, equivale a:

Answer 1

Resposta:

x²+y²/4=1

y²/4=1-x²

y²=4-4x²

y=√(4-4x²)

y=2*√(1-x²)

de -1 a 1 ∫  2*√(1-x²) dx

fazendo x= sen(u) ==> dx = cos(u) du

de -1 a 1 ∫  2*√(1-sen²(u)) * cos(u) du

de -1 a 1 ∫  2*cos(u) *cos(u) du

de -1 a 1 ∫  2* cos²(u) du

** cos(2u)=2cos²(u)-1

**cos²(u) = [cos(2u)+1]/2

de -1 a 1 ∫  2*  [cos(2u)+1]/2  du

de -1 a 1 ∫  [cos(2u)+1]  du

de -1 a 1   [(1/2) * sen (2u) + u ]  

**sen(2u)=2*sen(u)*cos(u)

de -1 a 1   [(1/2) * (2*sen(u)*cos(u)) + u ]  

de -1 a 1   [(sen(u)*cos(u)) + u ]  

**cos(u) =√(1-sen²(u))

** Não esquecendo que x=sen(u)   e u =arc seno (x)

de -1 a 1   [x*√(1-x²) + arc seno (x)]

= [1*√(1-1²) + arc seno (1)]  -  [(-1)*√(1-(-1)²) + arc seno (-1)]

= [1*0²) + π/2  -  [(-1)*0 -π]

=π/2 +π/2 = π unid. área  é a resposta