Question

Se a reta tangente a y=f(x) em (4, 3) passar pelo ponto (0, 2),
encontre f(4) e f'(4).

Answer 1

Respostas: f(4) = 3 e f'(4) = ¼
Olá...

Toda reta tangente, ao final de tudo, tem como fórmula geral a função de 1° grau:

y = ax + b

O exercício nos forneceu duas coordenadas: (4,3) e (0, 2).

Vamos pegar a coordenada (0, 2) e lançar os valores de X e Y na equação de 1° grau a fim de descobrir o valor de b:

y = ax + b
2 = a0 + b

2 = b

logo b vale 2. É justo até porque o reta tangente corta o eixo y no 2, pois seu X é 0.

Agora, vamos fazer a mesma coisa para a coordenada (4, 3), no entanto, adicionaremos o valor de b que encontramos a fim de descobrir o valor de nossa inclinação "a":

y = ax + b
3 = a4 + 2
3 – 2 = a4 → 1 = a4

a = ¼

o valor da nossa inclinação da reta é ¼.

Agora é questão de raciocínio. Temos uma função f(x). Derivamos ela e obtemos a função f'(x). Quando lançamos o valor de X que representa onde queremos a reta tangente, nos obteremos a inclinação da reta tangente. Então, posso dizer que f'(x) = a. Como eu quero a inclinação no ponto X onde vale 4 do gráfico original, eu vou considerar então que f'(4) = a → f'(4) = ¼

Para a outra função é questão de raciocínio também. Se eu tenho a coordenada do gráfico (4, 3) onde X vale 4 e Y vale 3, logo na função primitiva f(4) = 3.

Então, as respostas são:

f(4) = 3
f'(4) = ¼