Question

Se C é o segmento de reta ligando o ponto ( x1, y1 ) ao ponto ( x2, y2 ),
Mostre que

a integral ao longo dessa curva C definida por xdy -ydx = x1.y2 - x2.y1

Answer 1

Olá

O primeiro passo é parametrizar a curva, para encontrar os valores de x e de y.

Sendo $A =(x_1,y_1)$ e $B=(x_2,y_2)$

temos que o vetor parametrizado desse segmento de reta é dado pela seguinte fórmula:

r(t) = (B - A).t + A

$r(t) = ((x_2-x_1)t +x_1, (y_2 - y_1)t +y_1)\\0\leq y \leq 1\\\\x = (x_2-x_1)t +x_1\\dx = (x_2-x_1).dt\\\\y = (y_2-y_1)t +y_1\\dy = (y_2-y_1).dt$

Substituindo esses valores na integral temos:

$\int _cxdy\:+\:ydx\:=\:\int _c\left(\left(x_2-x_1\right)t+x_1\right)\left(y_2-y_1\right).dt\:+\:\left(\left(y_2-y_1\right)t\:+y_1\right)\left(x_2-x_1\right).dt$

$\int _0^1\left(\left(x_2-x_1\right)t+x_1\right)\left(y_2-y_1\right)+\left(\left(y_2-y_1\right)t+y_1\right)\left(x_2-x_1\right)dt=-x_2y_1+x_1y_2$

Espero ter Ajudado