3) ( RURAL/2003) - A altura de um triângulo é dada por 2x + 2 e sua base por 6 – x , - 1 < x < 6. O valor de x para que este triângulo tenha área máxima é:
a) 1/3
b) 2/3
c) 5/2
d) 5/3
e) 3
Respostas
Vamos lá.
Veja, Yasmin, que a resolução parece simples. Vamos tentar fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.
i) Pede-se o valor de "x", que deve estar no intervalo: -1 < x < 6 , para que o triângulo de altura dada por "2x+2" e base dada por "6-x" tenha ÁREA MÁXIMA.
ii) Note que a área (A)de um triângulo é dada por:
A = (base*altura)/2 . (I)
Tendo, portanto, a expressão (I) acima como parâmetro, e sabendo-se que a altura do nosso triângulo é "2x+2" e que a base é "6-x", então vamos calculá-la. Assim:
A = [(6-x)*(2x+2)]/2 ----- desenvolvendo, teremos:
A = [12x+12-2x²-2x]/2 ---- reduzindo os termos semelhantes e ordenando, temos:
A = [-2x² + 10x + 12]/2 ---- simplificando-se tudo por "2" iremos ficar com:
A = -x² + 5x + 6 <---- Esta é a função que nos dá a área do triângulo. Mas queremos a área máxima. A propósito, note que o termo "a" da função que acabamos de encontrar é negativo (o termo "a" é o coeficiente de x²). E quando o termo "a" é negativo é porque o gráfico (parábola) da função tem a sua abertura (ou concavidade) voltada pra baixo e, assim, tem um ponto de máximo. E é exatamente esse máximo que queremos encontrar e que é dado pelas coordenadas do vértice (xv; yv). Como queremos encontrar o valor da abscissa "x" para que a área do triângulo seja máxima, então vamos encontrar apenas o "x" do vértice (xv) cuja fórmula é esta:
xv = -b/2a ----- note que os coeficientes da função que acabamos de encontrar são estes: a = -1 --- (é o coeficiente de x²); b = 5 --- (é o coeficiente de x); c = 6 ---- (é o coeficiente do termo independente).
Assim, tendo por base os coeficientes vistos aí em cima, então vamos encontrar qual é o "x" do vértice, cuja fórmula já vimos aí em cima. Vamos apenas repetir:
xv = -b/2a ----- substituindo-se "b" por "5" e "a" por "-1", teremos:
xv = -5/2*(-1)
xv = -5/-2 ----- como, na divisão, menos com menos dá mais, então temos:
xv = 5/2 <---- Esta é a resposta. Opção "c". Ou seja, este deverá ser o valor de "x" para que seja máxima a área do triângulo da sua questão.
É isso aí.
Deu pra entender bem?
OK?
Adjemir.