Question

Dada a função y=4x³-60x²+200x+200.Determine:

O ponto exato em que o valor de y começa a diminuir( use 4 casas decimais)

obs: usando um programa de calculo obtém-se o resultado : 2,1132.
porém quero saber como chegar nesse resultado sem usar nenhum programa

Answer 1

Resposta:

Explicação passo-a-passo:

Boa noite!

Para encontrar onde a função é crescente ou decrescente, precisamos derivar a mesma:

$f(x)=4x^3-60x^2+200x+200\\f'(x)=3\cdot 4x^{3-1}-2\cdot 60x^{2-1}+200\cdot x^{1-1}+0\\f'(x)=12x^2-120x+200$

Como pode-se ver a derivada é uma equação do segundo grau.

Onde a função for positiva a equação original estará crescendo.

Onde a função for negativa, a equação original estará decrescendo.

Então, analisando-se o sinal da derivada:

$f'(x)=0\\12x^2-120x+200=0\\3x^3-30x+50=0\\\Delta=30^2-4(3)(50)=900-600=300\\x=\dfrac{30\pm\sqrt{300}}{2(3)}\\x=\dfrac{30\pm 10\sqrt{3}}{6}\\x'=\dfrac{5}{3}\cdot\left(3+\sqrt{3}\right)\\x''=\dfrac{5}{3}\cdot\left(3-\sqrt{3}\right)$

Então, o valor de y começa a diminuir quando chega em:

$\dfrac{5}{3}\cdot\left(3-\sqrt{3}\right)\approx 2,1132$

E volta a crescer em:

$\dfrac{5}{3}\cdot\left(3+\sqrt{3}\right)\approx 7,8868$

O motivo é que antes de 2,1132 a função (parábola) é positiva.

Entre 2,1132 e 7,8868 é negativa.

E depois de 7,8868 volta a ser positiva novamente.

Como disse, a derivada ser negativa significa a função ser decrescente, por isso começa a diminuir em 2.1132.

Espero ter ajudado!