Question

Cálculo 1 - Problemas de otimização

Achar os pontos sobre a curva y=x² mais próximos do ponto P = (0,2).

Answer 1

Resposta:

Queremos o ponto P(a,b)   , P(a,b) é o ponto mais próximo de P=(0,2)

y=x²  ==> b=a²  P(a,b)=P(a,a²)

y'=2x  é o coeficiente angular da reta tangente a curva y=x²

y'=2a  é o coeficiente angular da reta tangente a curva y=x² , no ponto P(a,a²)

relação entre coef. ang. de retas perpendiculares entre si =>mr*ms=-1

2a * mn =-1 ==> mn=-1/(2a) é o coef. ang. da reta normal a curva no            ponto P(a,a²)

Usando a eq. m=(y2-y1)/(x2-x1)

-1/2a = (2-a²)/(0-a)

a/2a=2-a²

1/2 =2-a²  ==> a²=5/2  ==> a=√(5/2)  ou a =-√5/2)

Se a=√(5/2)  ==>b=5/2

Se a=-√(5/2)  ==>b=5/2

Resposta: (√(5/2) ,5/2)  e  (-√(5/2) ,5/2)